6.周期信号的傅里叶级数展开 将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开 傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为ω=kω0的旋转向量e^jkw0t来合成周期信号。旋转向量在t=0时刻对应的向量为傅里叶系数Ck
那么如何求傅里叶系数呢？ 以方波信号信号为例 占空比为1/2 w0=2pi/T T=2τ 所以Ck=1/2sinc(k/2) sinc(x)=sin(πx)/πx x=+1 -1 +2 -2 ……时值为0 x=0时值为1 假设占空比为1/n T=nτ 幅度为1 Ck=1/nsinc(k/n) 7.周期信号的离散谱 1.三维频谱 以频率为横轴，将所有ck画到ω=kω0处与横轴垂直的复平面上，就得到了三维频谱 接前面的例子周期为1s的方波信号 其傅里叶系数为实数，不是复数 虽然画的是二维但本质上还是三维频谱 2.幅度频谱和相位频谱 1）幅度谱 以频率为横轴，以幅度为纵轴，将所有ck的幅度（也就是模）画到一张图中，这就是幅度谱。 2）相位谱 以频率为横轴，以初相为纵轴，将所有ck的初相画到一张图中，这就是相位谱。 以方波为例比较、 τ不变，改变T，改变占空比 很明显，周期每扩大一倍，谱线的数量也扩大一倍，谱线间隔和谱线长度都会减小一半。随着周期的不断增大，谱线间隔越来越小，谱线长度也越来越短。 若以f为横轴，频率间隔1/T 第一零点1/τ 若以角频率w0为横轴，频率间隔2π/T 第一零点2π/τ 虽然三个频谱图横轴的刻度不同，但是坐标轴相同位置对应的频率是相同的
8.非周期信号的连续谱 对于周期矩形信号，保持脉宽τ不变，当周期T趋于无穷大时，周期矩形信号将变成非周期矩形脉冲信号，换句话说，非周期矩形脉冲信号可以看成是周期矩形信号的周期趋于无穷大得到的。 Ck=1/nsinc(k/n) T趋于无穷大 n=T/τ占空比趋于无穷大 可得Ck的离散谱如下 可以看出谱线间隔和谱线长度都趋近于0，频谱分析很麻烦！ 从前面的例子可以得出结论：周期每扩大一倍，谱线数量扩大一倍，谱线间隔和谱线长度都减小一半。所以Ck/f0不会随着周期变化而改变，进而引出了连续谱！ 先推导下Ck/f0表达式 以方波信号为例Ck=1/nsinc(k/n) 将n=T/τ=1/τf0代入 Ck/f0=τsinc(τkf0) 是对tsinc(τf)的平顶采样，采样间隔为f0 所以当T趋于无穷，f0趋于0 kf0=f 所以非周期矩形脉冲的连续谱X(f)=τsinc(τf) 幅度为1、脉宽τ=0.5的矩形脉冲信号的连续谱如图 9.傅里叶变换 （一）推导 前面以矩形脉冲信号为例介绍了非周期信号的连续谱。如果是一般的非周期信号，如何求其连续谱呢？这就引出了傅里叶变换。 傅里叶正变换 傅里叶逆变换 微积分的知识，那就是：f(x)的积分可以用一系列的矩形面积来逼近，矩形的宽为∆x，高为f(k∆x)。 有时候傅里叶变换表达式也使用ω作为变量。由ω=2πf，得到：f=ω/2π，代入上面的傅里叶变换表达式，很容易得到变量为ω的傅里叶变换表达式。 （二）常见非周期信号的傅里叶变换 1.矩形脉冲信号 矩形脉冲信号（左）及其傅里叶变换（右） X（f）=τsinc(τf) 2.sinc脉冲信号 sinc脉冲信号τ sinc(τt)的傅里叶变换是矩形函数， sinc脉冲信号（左）及其傅里叶变换（右） 3.单位冲激信号 （三）周期信号的傅里叶变换 1.F[1]=dirac(f) 、2πdirac(w) 2.F[e^j2πf0t]=dirac(f-f0) ，2πdirac(w-w0) 3.余弦信号F(cos2pif0t)=0.5[dirac(f+f0)+dirac(f-f0)] 、π[dirac(w+w0)+dirac(w-w0)] 4.正弦信号 5.一般周期信号 周期信号的傅里叶变换是由一系列的冲激函数构成，这些冲激位于信号的基波和各谐波频率处，冲激的强度是傅里叶系数ck。 （四）傅里叶变换的性质 1.傅里叶变换的对称性，延迟性，微分积分性祥见信号与系统专栏 2.信号乘积的傅里叶变换 时域相乘相当于频域卷积。 为了便于区分，一般将两个离散序列的卷积称为“卷积和”，将两个连续函数的卷积称为“卷积积分”。 卷积和的计算过程为：反褶—平移—相乘—求和。卷积积分的计算过程与其类似：反褶—平移—相乘—积分，只是要将最后一步“求和”改为“积分” 一个函数X(f)与单位冲激函数δ(f-f0)的卷积结果为X(f-f0)。 频域卷积在调制中的应用：将x(t)调制到余弦载波上 频域卷积在采样中的应用：在时域以Ts为周期对信号x(t)进行采样，相当于在频域以采样频率fs为间隔对x(t)的频谱进行周期性拓展 3.信号卷积的傅里叶变换 离散系统的输出等于输入序列和单位冲激响应序列的卷积。 y[n]=x[n]h[n]，其中表示卷积 与离散系统类似，连续系统的输出也是等于输入信号和单位冲激响应的卷积： y(t)=x(t)*h(t) 将单位冲激信号输入理想低通滤波器时，输出的单位冲激响应是一个sinc信号 所有冲激响应的叠加结果就是原始模拟信号， 4.时域卷积定理：两个信号做卷积，相当于在频域做乘法。这就是时域卷积定理。 5.时域卷积定理在滤波中的应用，如上图，抽样信号的频谱是原始模拟信号频谱以采样频率周期扩展的，用理想低通滤波器进行滤波。 （五）离散傅里叶变换 1.什么是离散傅里叶变换？ 虽然傅里叶变换统一了周期信号和非周期信号的频谱分析方法，但由于其输入和输出都是连续信号，不方便在计算机和数字信号处理器中进行处理，于是离散傅里叶变换应运而生。离散傅里叶变换的输入和输出都是离散的数字信号。 离散傅里叶正变换的输入是N个时域样点数据：x(n)，输出是N个频域样点数据：X(k) 2。复指数离散傅里叶变换 以1Hz e^j2πt为例，并以8Hz的采样率 频率为1Hz的复指数信号的离散傅里叶变换只在k=1处有值，这个好理解，因为k=1对应的频率就是1Hz。 再来看一下频率为-1Hz的复指数信号e-j2πt，如图 为何是X(7)? 离散傅里叶正变换的表达式中限定了k的取值范围为：0~N-1 放开对k的取值范围的限制后，离散傅里叶变换的结果X(k)成为一个周期函数，以N为周期无限循环。 X(k+N)=X(k) X(7)=X(-1) 下面看一下X(k)的取值 从前面频率为1Hz的复指数信号一个周期采样数据的8点DFT来看，k=1时X(k)的取值为8。对比一下频率为1Hz的复指数信号的傅里叶系数，其取值为1， 可以发现：用N去除复指数信号一个周期采样数据的DFT结果，刚好与复指数信号的傅里叶系数相等
从DFT和傅里叶变换的表达式上可以看出 近似看出DFT少了dt也就是离散谱中的1/N（N为信号长度，而非数据长度，补零的不算，在后续的DSP会有详细解释） 离散傅里叶变换的本质： 对余弦信号的一个周期进行周期拓展，得到一个周期信号，求这个周期信号的傅里叶系数并乘以N得到的结果，与直接对余弦信号的一个周期进行采样再做N点离散傅里叶变换的结果，二者是完全等价的 表面上看是对时域采样数据进行N点离散傅里叶正变换，实质上求的是被采样信号周期性拓展得到的周期信号的傅里叶系数再乘以点数N （六）离散傅里叶逆变换 表面上看是对频域采样数据X(k)进行N点离散傅里叶逆变换，实质上是用X(k)/N作为傅里叶系数对复指数信号进行加权合成一个周期信号，再对一个周期进行采样得到N个时域采样数据。
可能对于没有专业基础的会对一些解释比较难以理解，但是在有信号与系统和DSP的一些简单了解之后再来看通信原理会发现很多知识成为你的基底。
