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第一章 随机事件和概率1.2  概率、条件概率、独立性和五大公式例4  设$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，且$P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1$，则必有（  ）。$(A)P(A|B)=P(\overline{A}|B);$$(B)P(A|B)\ne P(\overline{A}|B);$$(C)P(AB)=P(A)P(B);$$(D)P(AB)\ne P(A)P(B).$例5  已知$P(A)=0,P(B)=1$，则（  ）。$(A)A=\text{Ø},B=\Omega ;$$(B)A\subset B;$$(C)A$与$B$互斥$;$$(D)A$与$B$相互独立$.$例10  设有来自三个地区的各$10$名、$15$名和$25$名考生的报名表，其中女生的报名表分别为$3$份、$7$份和$5$份。随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率$q$。 1.3  古典概型与伯努利概型例4  掷一枚硬币$2n$次，出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为______。例5  一条自动生产线连续生产$n$件产品不出故障的概率为$\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda },n=0,1,2,\cdots$。假设产品的优质品率为$p(0<p<1)$。如果各件产品是否为优质品相互独立。（1）计算生产线在两次故障间共生产$k$件$(k=0,1,2,\cdots )$优质品的概率；（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了$k$件优质品，求它共生产$m$件产品的概率。 第二章 随机变量及其概率分布2.2  离散型随机变量和连续型随机变量例3  设随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=c\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots ,\lambda >0$，试确定常数$c$的值。例5  如果$f(x)$是某随机变量$X$的概率密度，则可以判断也为概率密度的是（  ）$(A)f(2x);$$(B)f^2(x);$$(C)2xf(x^2);$$(D)3x^{2}f(x^3).$ 写在最后

第一章 随机事件和概率

1.2  概率、条件概率、独立性和五大公式

例4  设$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，且$P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1$，则必有（  ）。$(A)P(A|B)=P(\overline{A}|B);$$(B)P(A|B)\ne P(\overline{A}|B);$$(C)P(AB)=P(A)P(B);$$(D)P(AB)\ne P(A)P(B).$

解  由$P(B|A)+P(\overline{B}|\overline{A})=1$，得$P(B|A)=1-P(\overline{B}|\overline{A})=P(B|\overline{A})$。   根据条件概率定义，上式可改写为$\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}$，即$P(A)P(B\overline{A})=P(\overline{A})P(BA)=[1-P(A)]P(BA)$，所以$P(A)P(B\overline{A})+P(A)P(BA)=P(BA)$，因此$P(A)P(B)=P(BA)$。故选$(C)$。（这道题主要利用了条件概率定义求解）

例5  已知$P(A)=0,P(B)=1$，则（  ）。$(A)A=\text{Ø},B=\Omega ;$$(B)A\subset B;$$(C)A$与$B$互斥$;$$(D)A$与$B$相互独立$.$

解  由于$0⩽P(AB)⩽P(A)=0$，所以$P(AB)=0$。又因为$P(A)P(B)=0$，所以$P(AB)=P(A)P(B)$成立，即$A$与$B$相互独立。故应选$(D)$。（这道题主要利用了事件互斥定义求解）

例10  设有来自三个地区的各$10$名、$15$名和$25$名考生的报名表，其中女生的报名表分别为$3$份、$7$份和$5$份。随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率$q$。

解  设事件$B_i$为第$i$次抽到的报名表是女生表$(i=1,2)$，事件$A_j$为报名表是第$j$区考生的(j=1,2,3)。显然$A_1,A_2,A_3$构成完备事件组，且$P(A_j)=\frac{1}{3}(j=1,2,3),P(B_1|A_1)=\frac{3}{10},P(B_1|A_2)=\frac{7}{15},P(B_1|A_3)=\frac{5}{25}$。   当$A_1$发生时，$P(B_1|{\overline{B}}_2)=\frac{3}{9}$；当$A_2$发生时，$P(B_1|{\overline{B}}_2)=\frac{7}{14}$；当$A_3$发生时，$P(B_1|{\overline{B}}_2)=\frac{5}{24}$，所以$q=\frac{1}{3}\times \frac{3}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{7}{14}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{24}=\frac{25}{72}$。（这道题主要利用了条件概率求解）

1.3  古典概型与伯努利概型

例4  掷一枚硬币$2n$次，出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为______。

解  在$2n$次中有可能正面向上次数等于反面向上次数各$n$次，其概率为${\mathrm{C}}_{2n}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，即${\mathrm{C}}_{2n}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}$。而其余各次有一半是正面向上次数多于反面向上次数，另一半是正面向上次数少于反面向上次数。它们的概率均为$\frac{1}{2}\left[1-{\mathrm{C}}_{2n}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}\right]$。（这道题主要利用了二次项展开式求解）

例5  一条自动生产线连续生产$n$件产品不出故障的概率为$\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda },n=0,1,2,\cdots$。假设产品的优质品率为$p(0<p<1)$。如果各件产品是否为优质品相互独立。

（1）计算生产线在两次故障间共生产$k$件$(k=0,1,2,\cdots )$优质品的概率；

解  设事件$B_k=$两次故障件共生产$k$件优质品，事件$A_i=$两次故障间共生产$i$件产品，$i=0,1,2,\cdots$。显然$A_0,A_1,A_2,\cdots$构成一个完备事件组，且$P(A_i)=\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-\lambda },i=0,1,2,\cdots$。   当$i<k$时，在$i$个产品中不可能有$k$个优质品，故$P(B_k|A_i)=0$；   当$i⩾k$时，在$i$个产品中有$k$个优质品，且各产品是否为优质品相互独立，故$P(B_k|A_i)={\mathrm{C}}_i^k{p}^k{q}^{i-k}$，其中$q=1-p$。   应用全概率公式，有 $$\begin{array}{rl}P(B_k)& =\sum _{i=0}^{+\infty }P(A_i)P(B_k|A_i)=\sum _{i=k}^{+\infty }P(A_i)P(B_k|A_i)\\ & =\sum _{i=k}^{+\infty }\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-\lambda }{\mathrm{C}}_i^k{p}^k{q}^{i-k}=\sum _{i=k}^{+\infty }\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-\lambda }\frac{i!}{k!(i-k)!}{p}^k{q}^{i-k}\\ & =\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda p}\sum _{i=k}^{+\infty }\frac{(\lambda q{)}^{i-k}}{(i-k)!}{e}^{-\lambda q}=\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda p},k=0,1,2,\cdots \end{array}$$ （这道题主要利用了概率性质求解）

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了$k$件优质品，求它共生产$m$件产品的概率。

解  当$m<k$时，$P(A_m|B_k)=0$；   当$m⩾k$时， $$\begin{array}{rl}P(A_m|B_k)& =\frac{P(A_m)P(B_k|A_m)}{P(B_k)}\\ & =\frac{k!}{(\lambda p{)}^k{e}^{-\lambda p}}\cdot \frac{{\lambda }^m}{m!}{e}^{-\lambda }\cdot \frac{m!}{k!(m-k)!}{p}^k{q}^{m-k}\\ & =\frac{(\lambda q{)}^{m-k}}{(m-k)!}{e}^{-\lambda q},m=k,k+1,\cdots \end{array}$$ （这道题主要利用了条件概率求解）

第二章 随机变量及其概率分布

2.2  离散型随机变量和连续型随机变量

例3  设随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=c\frac{{\lambda }^k}{k!},k=0,1,2,\cdots ,\lambda >0$，试确定常数$c$的值。

解  显然，此分布不是从$k=0$开始的泊松分布。由分布律性质$\sum _{k=1}^{\infty }{p}_k=1$得$1=\sum _{k=1}^{\infty }c\frac{{\lambda }^k}{k!}=c\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}=c\left(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}-1\right)=c(e^{\lambda }-1)$，所以$c=\frac{1}{e^{\lambda }-1}$。其中，使用了公式$\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{x^k}{k!}=e^x$。（这道题主要利用了幂级数展开求解）

例5  如果$f(x)$是某随机变量$X$的概率密度，则可以判断也为概率密度的是（  ）$(A)f(2x);$$(B)f^2(x);$$(C)2xf(x^2);$$(D)3x^{2}f(x^3).$

解  根据概率密度的充要条件，$3x^{2}f(x^3)⩾0,{\int }_{-\infty }^{+\infty }3x^{2}f(x^3)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x^3)\mathrm{d}{x}^3={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t=1$。   而${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2};{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x=1$不一定成立；$2xf(x^2)⩾0$不一定成立。故选$(D)$。（这道题主要利用了概率密度的充要条件求解）

写在最后

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