回溯算法

从全排列问题开始理解「回溯」算法（深度优先遍历 + 状态重置 + 剪枝）

转载自https://leetcode-cn.com/problems/permutations/solution/hui-su-suan-fa-python-dai-ma-java-dai-ma-by-liweiw/

请带着以下问题理解回溯搜索算法

1、什么是“树形问题”？为什么是在树形问题上使用“深度优先遍历”？不用深度优先遍历我们还可以用什么？ 2、什么是“回溯”？为什么需要回溯？ 3、不回溯可以吗？

“回溯”指的是“状态重置”，可以理解为“回到过去”、“恢复现场”，是在编码的过程中，是为了节约空间而使用的一种技巧。而回溯其实是“深度优先遍历”特有的一种现象。之所以是“深度优先遍历”，是因为我们要解决的问题通常是在一棵树上完成的，在这棵树上搜索需要的答案，一般使用深度优先遍历。

“全排列”就是一个非常经典的“回溯”算法的应用。我们知道，N 个数字的全排列一共有 N!这么多个。

大家可以尝试一下在纸上写 3 个数字、4 个数字、5 个数字的全排列，相信不难找到这样的方法。

以数组 [1, 2, 3] 的全排列为例。

我们先写以 1 开头的全排列，它们是：[1, 2, 3], [1, 3, 2]； 再写以 2 开头的全排列，它们是：[2, 1, 3], [2, 3, 1]； 最后写以 3 开头的全排列，它们是：[3, 1, 2], [3, 2, 1]。 我们只需要按顺序枚举每一位可能出现的情况，已经选择的数字在接下来要确定的数字中不能出现。按照这种策略选取就能够做到不重不漏，把可能的全排列都枚举出来。

在枚举第一位的时候，有 3 种情况。 在枚举第二位的时候，前面已经出现过的数字就不能再被选取了； 在枚举第三位的时候，前面 2 个已经选择过的数字就不能再被选取了。 这样的思路，我们可以用一个树形结构表示。看到这里的朋友，建议自己先尝试画一下“全排列”问题的树形结构。

使用编程的方法得到全排列，就是在这样的一个树形结构中进行编程，具体来说，就是执行一次深度优先遍历，从树的根结点到叶子结点形成的路径就是一个全排列。

说明：

1、每一个结点表示了“全排列”问题求解的不同阶段，这些阶段通过变量的“不同的值”体现； 2、这些变量的不同的值，也称之为“状态”； 3、使用深度优先遍历有“回头”的过程，在“回头”以后，状态变量需要设置成为和先前一样； 4、因此在回到上一层结点的过程中，需要撤销上一次选择，这个操作也称之为“状态重置”； 5、深度优先遍历，可以直接借助系统栈空间，为我们保存所需要的状态变量，在编码中只需要注意遍历到相应的结点的时候，状态变量的值是正确的，具体的做法是：往下走一层的时候，path 变量在尾部追加，而往回走的时候，需要撤销上一次的选择，也是在尾部操作，因此 path 变量是一个栈。 6、深度优先遍历通过“回溯”操作，实现了全局使用一份状态变量的效果。

下面我们解释如何编码：

1、首先这棵树除了根结点和叶子结点以外，每一个结点做的事情其实是一样的，即在已经选了一些数的前提，我们需要在剩下还没有选择的数中按照顺序依次选择一个数，这显然是一个递归结构；

2、递归的终止条件是，数已经选够了，因此我们需要一个变量来表示当前递归到第几层，我们把这个变量叫做 depth；

3、这些结点实际上表示了搜索（查找）全排列问题的不同阶段，为了区分这些不同阶段，我们就需要一些变量来记录为了得到一个全排列，程序进行到哪一步了，在这里我们需要两个变量：

（1）已经选了哪些数，到叶子结点时候，这些已经选择的数就构成了一个全排列； （2）一个布尔数组 used，初始化的时候都为 false 表示这些数还没有被选择，当我们选定一个数的时候，就将这个数组的相应位置设置为 true ，这样在考虑下一个位置的时候，就能够以 O(1)O(1) 的时间复杂度判断这个数是否被选择过，这是一种“以空间换时间”的思想。

我们把这两个变量称之为“状态变量”，它们表示了我们在求解一个问题的时候所处的阶段。

4、在非叶子结点处，产生不同的分支，这一操作的语义是：在还未选择的数中依次选择一个元素作为下一个位置的元素，这显然得通过一个循环实现。

5、另外，因为是执行深度优先遍历，从较深层的结点返回到较浅层结点的时候，需要做“状态重置”，即“回到过去”、“恢复现场”，我们举一个例子。

从 [1, 2, 3] 到 [1, 3, 2] ，深度优先遍历是这样做的，从 [1, 2, 3] 回到 [1, 2] 的时候，需要撤销刚刚已经选择的数 3，因为在这一层只有一个数 3 我们已经尝试过了，因此程序回到上一层，需要撤销对 2 的选择，好让后面的程序知道，选择 3 了以后还能够选择 2。

这种在遍历的过程中，从深层结点回到浅层结点的过程中所做的操作就叫“回溯”。

下面来看看代码应该如何编写：

参考代码 1：（注意：这个代码是错误的，希望读者能自己运行一下测试用例自己发现原因，然后再阅读后面的内容）

import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class Solution { public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { // 首先是特判 int len = nums.length; // 使用一个动态数组保存所有可能的全排列 List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); if (len == 0) { return res; } boolean[] used = new boolean[len]; List<Integer> path = new ArrayList<>(); dfs(nums, len, 0, path, used, res); return res; } private void dfs(int[] nums, int len, int depth, List<Integer> path, boolean[] used, List<List<Integer>> res) { if (depth == len) { res.add(path); return; } for (int i = 0; i < len; i++) { if (!used[i]) { path.add(nums[i]); used[i] = true; dfs(nums, len, depth + 1, path, used, res); // 注意：这里是状态重置，是从深层结点回到浅层结点的过程，代码在形式上和递归之前是对称的 used[i] = false; path.remove(path.size() - 1); } } } public static void main(String[] args) { int[] nums = {1, 2, 3}; Solution solution = new Solution(); List<List<Integer>> lists = solution.permute(nums); System.out.println(lists); } }

这段代码在运行的时候输出如下： [[], [], [], [], [], []] 原因出现在递归终止条件这里：

if (depth == len) { res.add(path); return; }

path 这个变量所指向的对象在递归的过程中只有一份，深度优先遍历完成以后，因为回到了根结点（因为我们之前说了，从深层结点回到浅层结点的时候，需要撤销之前的选择），因此 path 这个变量回到根结点以后都为空。

在 Java 中，因为都是值传递，对象类型变量在传参的过程中，复制的都是变量的地址。（Python 我不是很清楚 Python 中方法变量的传递机制，所以暂时没有写，欢迎知道的朋友补充，但是从实验的结果上看和 Java 很像。）这些地址被添加到 res 变量，但实际上指向的是同一块内存地址，因此我们会看到 6 个空的列表对象。解决的方法很简单，在 res.add(path); 这里做一次拷贝即可。

修改的部分：

JavaPython

if (depth == len) {     res.add(new ArrayList<>(path));     return; }

下面我们对这一版的代码做以下几个说明：

1、如果在每一个非叶子结点分支的尝试，我都创建新的变量表示状态，那么（1）在回到上一层结点的时候不需要“回溯”；（2）在递归终止的时候也不需要做拷贝。

这样的做法虽然可以得到解，但也会创建很多中间变量，这些中间变量很多时候是我们不需要的，会有一定空间和时间上的消耗。为了验证上面的说明，我们写如下代码进行实验：

import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class Solution { public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { // 首先是特判 int len = nums.length; // 使用一个动态数组保存所有可能的全排列 List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); if (len == 0) { return res; } boolean[] used = new boolean[len]; List<Integer> path = new ArrayList<>(); dfs(nums, len, 0, path, used, res); return res; } private void dfs(int[] nums, int len, int depth, List<Integer> path, boolean[] used, List<List<Integer>> res) { if (depth == len) { // 3、不用拷贝，因为每一层传递下来的 path 变量都是新建的 res.add(path); return; } for (int i = 0; i < len; i++) { if (!used[i]) { // 1、每一次尝试都创建新的变量表示当前的"状态" List<Integer> newPath = new ArrayList<>(path); newPath.add(nums[i]); boolean[] newUsed = new boolean[len]; System.arraycopy(used, 0, newUsed, 0, len); newUsed[i] = true; dfs(nums, len, depth + 1, newPath, newUsed, res); // 2、无需回溯 } } } }

这就好比我们在实验室里做“对比实验”，每一个步骤的尝试都要保证使用的材料是一样的。我们有两种办法：

（1）每做完一种尝试，都把实验材料恢复成做上一个实验之前的样子，只有这样做出的对比才有意义； （2）每一次尝试都使用同样的新的材料做实验。

在生活中做实验对材料有破坏性，这个过程通常不可逆。而在计算机的世界里，“恢复现场”和“回到过去”是相对容易的。

在一些字符串的“回溯”问题中，有时不需要回溯的原因是这样的：字符串变量在拼接的过程中会产生新的对象

2、也可以不使用 used 数组，在遍历的过程中，对于一个数是否使用过，就得遍历 path 里的每一个元素，这个操作的时间复杂度是 O(N)。一般情况下，没有必要节约这个空间。

3、ArrayList 是 Java 的动态数组，我们如果一开始就知道这个集合里需要保存元素的大小，可以在初始化的时候直接传入。

在 res 变量初始化的时候，最好传入 len 的阶乘，让 ArrayList 在代码执行的过程中不发生扩容行为。同理，在 path 变量初始化的时候，最好传入 len，这个路径变量最长也就到 len 为止。

4、path 变量我们发现只是对它的末尾位置进行增加和删除的操作，显然它是一个栈，因此，使用栈语义会更清晰。

但同时 Stack 由于一些设计上的问题，建议我们使用：

Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<Integer>(); 这一点让我很奔溃，Deque 是双端队列，它提供了更灵活的接口，同时破坏了语义，一不小心，如果用错了接口，就会导致程序错误。我采用的做法是接受官方的建议，但是在程序变量命名和使用的接口时让语义清晰：

这里 path 我需要表示它是从根结点到叶子结点的路径，我认为这个语义更重要，因此不改名为 stack。而在末尾添加元素和删除元素的时候，分别使用 addLast() 和 removeLast() 方法这两个最直接的方法强调只在 path 变量的末尾操作。

5、布尔数组在这题里的作用是判断某个位置上的元素是否已经使用过。有两种等价的替换方式：

（1）哈希表； （2）位掩码，使用一个整数表示布尔数组。可以将空间复杂度降到O(1)（不包括 path 变量和 res 变量和递归栈空间消耗）。

参考代码 3：

import java.util.ArrayDeque; import java.util.ArrayList; import java.util.Deque; import java.util.HashSet; import java.util.List; import java.util.Set; public class Solution { public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { int len = nums.length; List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(factorial(len)); if (len == 0) { return res; } // 使用哈希表检测一个数字是否使用过 Set<Integer> used = new HashSet<>(len); Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>(len); dfs(nums, len, 0, path, used, res); return res; } private int factorial(int n) { int res = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { res *= i; } return res; } private void dfs(int[] nums, int len, int depth, Deque<Integer> path, Set<Integer> used, List<List<Integer>> res) { if (depth == len) { res.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = 0; i < len; i++) { if (!used.contains(i)) { used.add(i); path.addLast(nums[i]); dfs(nums, len, depth + 1, path, used, res); path.removeLast(); used.remove(i); } } } }

总结 下面回答在最开始提出的问题，其实我们上面的说明中也已经回答了。

1、为什么使用深度优先遍历？

（1）首先是正确性，只有遍历状态空间，才能得到所有符合条件的解；

（2）在深度优先遍历的时候，不同状态之间的切换很容易，可以再看一下上面有很多箭头的那张图，每两个状态之间的差别只有 1 处，因此回退非常方便，这样全局才能使用一份状态变量完成搜索；

（3）如果使用广度优先遍历，从浅层转到深层，状态的变化就很大，此时我们不得不在每一个状态都新建变量去保存它，从性能来说是不划算的；

（4）如果使用广度优先遍历就得使用队列，然后编写结点类。使用深度优先遍历，我们是直接使用了系统栈，系统栈帮助我们保存了每一个结点的状态信息。于是我们不用编写结点类，不必手动编写栈完成深度优先遍历。大家可以尝试使用广度优先遍历实现一下，就能体会到这一点。

2、不回溯可不可以？

可以。搜索问题的状态空间一般很大，如果每一个状态都去创建新的变量，时间复杂度是O(N)。在候选数比较多的时候，在非叶子结点上创建新的状态变量的性能消耗就很严重。

就本题而言，只需要叶子结点的那个状态，在叶子结点执行拷贝，时间复杂度是 O(N)。

路径变量在深度优先遍历的时候，结点之间的转换只需要 O(1)。

最后，由于回溯算法的时间复杂度很高，因此，如果在遍历的时候，如果能够提前知道这一条分支不能搜索到满意的结果，就可以提前结束，这一步操作称之为剪枝。

回溯算法会大量应用“剪枝”技巧达到以加快搜索速度。有些时候，需要做一些预处理工作（例如排序）才能达到剪枝的目的。预处理工作虽然也消耗时间，但一般而且能够剪枝节约的时间更多。还有正是因为回溯问题本身时间复杂度就很高，所以能用空间换时间就尽量使用空间。否则时间消耗又上去了。

下面提供一些我做过的“回溯”算法的问题，以便大家学习和理解“回溯”算法。

我做题的时候，第 1 步都是先画图，画图是非常重要的，只有画图才能帮助我们想清楚递归结构，想清楚如何剪枝。就拿题目中的示例，想一想人手动操作是怎么做的，一般这样下来，这棵递归树都不难画出。

即在画图的过程中思考清楚：

1、分支如何产生；

2、题目需要的解在哪里？是在叶子结点、还是在非叶子结点、还是在从跟结点到叶子结点的路径？

3、哪些搜索是会产生不需要的解的？例如：产生重复是什么原因，如果在浅层就知道这个分支不能产生需要的结果，应该提前剪枝，剪枝的条件是什么，代码怎么写？

题目    提示 47. 全排列 II    思考一下，为什么造成了重复，如何在搜索之前就判断这一支会产生重复，从而“剪枝”。

https://leetcode-cn.com/problems/permutations-ii/ 17 .电话号码的字母组合     22. 括号生成    这是字符串问题，没有显式回溯的过程。这道题广度优先遍历也很好写，可以通过这个问题理解一下为什么回溯算法都是深度优先遍历，并且都用递归来写。 39. 组合总和    使用题目给的示例，画图分析。 40. 组合总和 II     51. N皇后    其实就是全排列问题，注意设计清楚状态变量。 60. 第k个排列    利用了剪枝的思想，减去了大量枝叶，直接来到需要的叶子结点。 77. 组合    组合问题按顺序找，就不会重复。并且举一个中等规模的例子，找到如何剪枝，这道题思想不难，难在编码。 78. 子集    为数不多的，解不在叶子结点上的回溯搜索问题。解法比较多，注意对比。 90. 子集 II    剪枝技巧同 47 题、39 题、40 题。 93. 复原IP地址     784. 字母大小写全排列