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文章目录

Part 1 - 极限记忆内容1 等价无穷小2 麦克劳林公式3 重要极限4 几个重要不等式5 无穷小比较6 无穷大比较7 无穷小计算8 重要结论 题型1 极限证明2 极限的概念与性质3 求不定型极限(一) $\frac{0}{0}$型(二) $1^{\infty }$型(三) $\frac{\infty }{\infty }$型(四) 其他类型(五) 麦克劳林公式(六) 重要技巧1 提取因子2 分子/分母有理化3 抓大放小4 各种拆项法5 先求一部分6 代换7 除$x$除$\frac{1}{x}$8 减少绝对值9 有界函数 $\ast$ 无穷小 $=0$10 $\ln \Delta -x=\ln \Delta -\ln e^x=\ln \frac{\Delta }{e^x}$11 与定积分结合12 与导数结合13 中值定理14 关于$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$15 三角函数周期性 4 左右极限问题5 求$n$项和或积极限(一) 可以求和/积(二) 无法求和case 1: 夹逼定理case 2: 定积分定义 6 求参数问题(一) 等价无穷小求参数问题 (比较无穷小的关系)(二) 极限方程求参数问题(三) $x$的$n$阶无穷小求参数问题(四) 确定参数使$f(x)$成为当$x\to a$时阶数尽可能高的无穷小(五) 确定阶数$n$的范围 7 已知极限求另一个极限8 极限存在性证明(一) 单调有界数列的极限存在性证明单调性证明方法总结有界性证明方法总结 (二) 有界非单调数列的极限存在性证明 —— 压缩映射法 9 极限保号性应用10 相关定理结论证明 Part 2 - 连续记忆内容1 连续的条件2 间断点分类3 零点定理4 介值定理 题型1 连续条件求参数问题2 间断点分类问题3 分段函数问题4 补点连续问题5 闭区间上连续函数性质 (证明题)

Part 1 - 极限

记忆内容

1 等价无穷小

$$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim e^x-1\sim \ln (1+x)$$

$$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$$$$1-{\cos }^{a}x\sim \frac{a}{2}{x}^2$$

$$(1+x{)}^a\sim ax$$

$$x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$$

$$a^x-1\sim x\ln a$$

$x$、$\sin x$、$\tan x$、$\arcsin x$、$\arctan x$任意两者之差为$3$阶无穷小；使用等价无穷小时注意精度；等价无穷小作为因子可以随意使用，不考虑精度；对于变积分限函数，积分限与被积函数均可使用等价无穷小： $${\int }_0^{e^{x^2}-1}\frac{\sin t^2}{t}dt\sim {\int }_0^{x^2}tdt=\frac{x^4}{2}$$

2 麦克劳林公式

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1)!}{x}^{2n-1}+o(x^{2n-1})$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{(-1{)}^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n})$$

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$$

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$$

$$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+...$$

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...+\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+1})$$

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

$$\arcsin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$

3 重要极限

$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta }{\Delta }=1$$

$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }(1+\Delta {)}^{\frac{1}{\Delta }}=e$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1，\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^x=1$$

4 几个重要不等式

$$\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}\iff a+b⩾2\sqrt{ab}(a,b>0)$$

$$\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}⩽\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}(x_1,x_2,..x_n>0)$$

$$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$$

$$\sin x<x(x>0)$$

$$e^x<1+x(x\ne 0)$$

$$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2})$$

5 无穷小比较

  设$\alpha ，\beta$是自变量统一变化过程中的无穷小，

    (1) 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记 $$\beta =o(\alpha )$$

    (2) 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，则称$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小；

    (3) 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=C\ne 0$，则称$\beta$是$\alpha$的同阶无穷小，记 $$\beta =O(\alpha )$$

    (4) 若$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=C\ne 0$，则称$\beta$是$\alpha$的$k$阶无穷小；

    (5) 若$\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，则称$\beta$是$\alpha$的等价无穷小，记$\alpha \sim \beta$.

6 无穷大比较

        当$n\to \infty$时，下列数列无穷大的阶数由低到高排序：                 $\ln n$，$n^{\alpha }(\alpha >0)$，$n^{\beta }(\beta >\alpha >0)$，$a^n(a>1)$，$n^n$

        当$x\to +\infty$时，下列函数无穷大的阶数由低到高排序：                 $\ln x$，$x^{\alpha }(\alpha >0)$，$x^{\beta }(\beta >\alpha >0)$，$a^x(a>1)$，$x^x$

  数列极限$n\to \infty$的无穷专指正无穷，而函数极限必须标明正负号！

7 无穷小计算

$$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{\text{min}\{m,n\}})$$

$$o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$

$$x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$

$$o(x^m)=o(k{x}^m)=k\cdot o(x^m)$$

8 重要结论

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=|a|.$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0\iff \underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=0.$

  这是夹逼准则的常用结论. 证明一个数列极限为0，可以转化为证明其绝对值的极限为0. 因为$|a_n|$天然$⩾0$，所以用夹逼准则证明$|a_n|$极限存在时，只需证明$|a_n|⩽0$即可.

若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}$.

  逆否命题：只要原数列存在一个发散的子列，则原数列必定发散. 或存在两个子列收敛于不同的极限，则原数列必定发散.

(子列完整覆盖) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\exists \iff \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n-1}$存在且相等. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\exists \iff \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{3n}$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{3n+1}$、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{3n+2}$存在且相等.

设$\underset{x\to \cdot }{\lim }f(x)\exists$，则当$x\to \cdot$时，$f(x)$有界.

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

有界函数与有界函数的和、差、积还是有界函数.

若$f^{\prime }(x)$在有限区间$(a,b)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$上有界.

  证明：设任一点$x_0\in (a,b)$，任意$x\in (x_0,b)$，     由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(\xi )(x-x_0)(x_0<\xi <x)$     $\Rightarrow |f(x)|=|f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0)|⩽|f(x_0)|+|f^{\prime }(\xi )(x-x_0)|$     因为$f^{\prime }(x)$在$(a,b)$上有界，所以$|f(x_0)|+|f^{\prime }(\xi )(x-x_0)|⩽|f(x_0)+K(b-a)|$，($K>0$).     令$M=|f(x_0)+K(b-a)|$，则$|f(x)|⩽M$.

题型

1 极限证明

  分两种类型：数列极限、函数极限.   如：证明$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$.

2 极限的概念与性质

  如：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\ne 0$，当$n$充分大时，$|a_n|>\frac{|a_n|}{2}$、$|a_n|<\frac{|a_n|}{2}$正确的是？

3 求不定型极限

(一) $\frac{0}{0}$型

  利用等价无穷小和洛必达法则求解.

  几个习惯手法：

    $(1)$   $u(x{)}^{v(x)}\Rightarrow e^{v(x)\ln u(x)}$；

    $(2)$  $\ln (...)\Rightarrow \ln (1+\Delta )\sim \Delta (\to 0)$；

    $(3)$  $(...)-1\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{e}^{\Delta }-1\sim \Delta ,& (\Delta \to 0)\\ (1+\Delta {)}^a\sim a\Delta ,& (\Delta \to 0，a\text{为常数}).\end{array}$

$u(x{)}^{v(x)}$也可用于非$\frac{0}{0}$型的题目，并非$\frac{0}{0}$专有手法. 这类题目也列在下表. 如：求 $\underset{x\to 0}{\lim }{(\frac{a^x-x\ln a}{b^x-x\ln b})}^{\frac{1}{x^2}}$（此题自然也能用$1^{\infty }$型求解） 又如：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.

(二) $1^{\infty }$型

  1. 凑 $(1+\Delta {)}^{\frac{1}{\Delta }}\Rightarrow \underset{\Delta \to 0}{\lim }(1+\Delta {)}^{\frac{1}{\Delta }}=e$；   2. 恒等变形.

    例： $$\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x^2{)}^{\frac{1}{x\sin x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\{[(1+(-2x^2){]}^{\frac{1}{(-2x^2)}}{\}}^{\frac{1}{x\sin x}\cdot (-2x^2)}=e^{-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{\sin x}}=e^{-2}$$

(三) $\frac{\infty }{\infty }$型

    $(1)$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}...+b_0}{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}...+a_0}=\{\begin{array}{ll}0,& \text{n < m,}\\ \frac{b_n}{a_m},& \text{n = m,}\\ \infty ,& \text{n > m.}\end{array}$

    $(2)$ 转换为$\frac{0}{0}$型；

    $(3)$ 洛必达法则.

(四) 其他类型

  包括：$0\times \infty$型、$\infty -\infty$型、${\infty }^0$型、$0^0$型.

  以上类型一般需要转换为上面的三种基本类型解决.     $\infty -\infty$型：通分! 想办法变成分式.     $0^0$型：$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\cdot \ln u(x)}$

(五) 麦克劳林公式

  题目特征：     出现$\sin x、\cos x、e^x、\ln (1+x)、(1+x{)}^a$等堆叠；     分子分母精度(阶数)不一致.

  解题方法：     麦克劳林公式，其难点在于阶数的确定.

(六) 重要技巧

1 提取因子

    型$A$： $\tan x-\sin x\Rightarrow \tan x(1-\cos x)$

    型$B$： $e^{\Delta }-e^x\Rightarrow e^x(e^{\Delta -x}-1)$

    型$C$： $x^x-{\Delta }^x\Rightarrow x^x(1-(\frac{\Delta }{x}{)}^x)$

2 分子/分母有理化

  $\sqrt{?}\pm \sqrt{?}$ $or$ $\sqrt{?}\pm ?$ $or$ $?\pm \sqrt{?}$ $\Rightarrow$ 分子/分母有理化，之后通常可以先计算一部分.

3 抓大放小

  当$x\to \infty$时，起决定性作用的是多项式中最高阶的无穷大量.

  如： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x^2+x+1)}{\ln (x^{10}+2x^2-1)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x^2(1+\frac{1}{x})}{\ln x^4(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4})}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2\ln x+\ln (1+\frac{1}{x})}{4\ln x+\ln (1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4})}=\frac{1}{2}；$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}}=\frac{3}{2}.$$

在$\ln$括号里面不能直接抓大放小，而是要想办法提出一个因子拆开再考虑，如: $$\ln (x^5+x^3)=\ln x^3(x^2+1)=3\ln x+\ln (x^2+1)$$

4 各种拆项法

  型$A$ $--$ 减$1$加$1$     通常会产生两个$2$阶无穷小，如： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}+\cos x-2}{x\arcsin 2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-1+\cos x-1}{x\arcsin 2x}.$$

  型$B$ $--$ 减$x$加$x$ (减其他无穷小)     通常会产生两个$3$阶无穷小，如： $$x{e}^x-\sin x\Rightarrow (x{e}^x-x)+(x-\sin x).$$

    还可能出现下面这种连拆： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan (\sin x)-\sin (\tan x)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan (\sin x)-\sin x}{x^3}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin (\tan x)}{x^3}$$

  $\star$型$C$ $--$ 拆 $1-\cos x\cdot \cos 2x...$     比较特殊的拆法，需要记忆！如： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}+\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\cdot \frac{1-\cos 2x}{x^2}+\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\cdot \cos 2x\cdot \frac{1-\cos 3x}{x^2}$$

  型$D$ $--$ 拆$\ln$：$\ln (ab)=\ln a+\ln b$，     很容易被忽视的拆法，不一定都用$\ln (1+\Delta )～\Delta$.

  型$E$ $--$ 平方差公式：$a^2-b^2=(a-b)\cdot (a+b)$，拆开分母根据阶数分配.

5 先求一部分

  如果式子的一部分可以拆出来直接求，大胆地拆！

  如: $$\underset{x\to 0}{\lim }[(x+1)\arctan x-\frac{\pi }{2}x]=\frac{\pi }{2}+\underset{x\to 0}{\lim }[x(\arctan x-\frac{\pi }{2})]=\frac{\pi }{2}$$

6 代换

  代换是非常重要的手法，常见有$x-1$代换、倒代换、三角函数代换。通过代换可以让式子变得清晰，利于计算。

  如： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\sin x)-\sin x}{x^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t-t}{t^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t-1}{3t^2}=-\frac{1}{6}$$   尤其还要熟悉带三角函数的代换手法，如： $$\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\cdot \tan \frac{\pi }{2}x=\underset{x\to 1}{\lim }(x-1)\cdot \tan [\frac{\pi }{2}(x-1)+\frac{\pi }{2}]=-\underset{x\to 0}{\lim }t\cdot \cot \frac{\pi }{2}t=-\frac{2}{\pi }.$$

7 除$x$除$\frac{1}{x}$

  题目特征：     多见于$\sin ?\cdot \ln (?)$.

  如： $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\sin x}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sin x\cdot \ln x}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}=e^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln x}=1$$

也可以是除以其他$x$的等价无穷小 (比如除$\tan x$).

8 减少绝对值

  出现太多绝对值，求极限将无从下手，应该通过提取因子或同除等方法减少绝对值.   如： $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{2x}|t-x|\sin tdt}{|x{|}^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{2x}|\frac{t}{x}-1|\sin tdt}{x^2}$$

9 有界函数 $\ast$ 无穷小 $=0$

  容易忘记，可能会在比较复杂的式子里塞一项.

10 $\ln \Delta -x=\ln \Delta -\ln e^x=\ln \frac{\Delta }{e^x}$

  例. 求下列极限： $$\underset{x\to +\infty }{\lim }[\text{ln}(1+e^x)-x].$$

  解：原式$=\underset{x\to +\infty }{\lim }[\text{ln}(1+e^x)-\text{ln}{e}^x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{ln}\frac{1+e^x}{e^x}=0$

11 与定积分结合

  对于一般题目，先清理掉积分中的$x$，再用洛必达法则.   个别题目可能会与夹逼定理结合： $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{{\ln }^n(1+x)}{1+x^2}dx$$

12 与导数结合

  直接把导数作为已知条件，如：已知$f^{\prime }(0)=2$；   或根据导数定义给出的条件去计算，如: 已知$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$。

13 中值定理

14 关于$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$

  存在以下不等式： $$\ln (1+n)⩽1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}⩽1+\ln n$$

  证明如下：    左：     当$x\in [1,2]$时，有$1⩾\frac{1}{x}$，则$1⩾{\int }_1^2\frac{1}{x}dx$，     当$x\in [2,3]$时，有$\frac{1}{2}⩾\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{2}⩾{\int }_2^3\frac{1}{x}dx$，     …     当$x\in [n,n+1]$时，有$\frac{1}{n}⩾\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{n}⩾{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}dx$，     从而有$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}⩾{\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln (1+n)$.

   右：     当$x\in [1,2]$时，有$\frac{1}{2}⩽\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{2}⩽{\int }_1^2\frac{1}{x}dx$，     当$x\in [2,3]$时，有$\frac{1}{3}⩽\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{3}⩽{\int }_2^3\frac{1}{x}dx$，     …     当$x\in [n-1,n]$时，有$\frac{1}{n}⩽\frac{1}{x}$，则$\frac{1}{n}⩽{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x}dx$，     从而有$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}⩽{\int }_1^n\frac{1}{x}dx=1+\ln n$.

15 三角函数周期性

  特征：题目是带三角函数的数列极限，且三角函数中含$\pi$.   思路：考虑使用周期性，以$\text{sin}\Delta$为例：     (1) 从$\Delta$中拆出$2n\pi$；     (2) 在$\Delta$内部加或减$2n\pi$.

  如：求极限：$\underset{n\to \infty }{\lim }n\text{sin}\sqrt{4n^2+1}\pi$.   考虑在内部减一个周期： $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\text{sin}\sqrt{4n^2+1}\pi =\underset{n\to \infty }{\lim }n\text{sin}(\sqrt{4n^2+1}-2n)\pi$$

  下面就可以用分子有理化继续往下做了.

4 左右极限问题

  分别求左右极限.

5 求$n$项和或积极限

(一) 可以求和/积

         先求和/积再求极限.

         如： $$\underset{n\to \infty }{\lim }[\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}]$$

         对于n项积，有以下两种连锁化简的方式：

平方差 如：$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+x)(1+x^2)...(1+x^{2^n})(|x|<1)$， 左乘 $(1-x)$.$\sin 2x=2\sin x\cos x$ 如：$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{4}\cdot \cdot \cdot \cos \frac{x}{2^n}(x\ne 0)$，右乘 $\sin \frac{x}{2^n}$.

(二) 无法求和

根据题目特点选择使用夹逼定理或定积分定义求解，当然也可以是二者结合。

case 1: 夹逼定理

  题目特征：分子或分母次数不齐。

        如：

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^n+1})$     分子每一项的次数为齐次(都是一次)，但分母次数不齐(两次+一次)，用夹逼定理。$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})$     分母次数不齐，一次+1/2次，用夹逼定理。 夹逼定理还可用于求解其他类型的题目，如： $$\underset{n\to +\infty }{\lim }(2^n+3^n+4^n{)}^{\frac{1}{n}}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a^n+b^n+c^n{)}^{\frac{1}{n}}=\max \{a,b,c\}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{{\ln }^n(1+x)}{1+x^2}dx$$

  注意：夹逼定理只调整分母，不管分子是否变化!

  求极限：$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n})$

case 2: 定积分定义

  公式： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{kn}f(\frac{i}{n})={\int }_0^{k}f(x)dx$$

  特征：     1. 分子分母次数齐(分母通常比分子多一次)；     2. 见到$f(\frac{i}{n})$.   如：     1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+...+\frac{n}{n^2+n^2})$       分子都是一次，分母都是二次；     2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})$       分子分母都是一次.

  读者可以考虑下面这个极限： $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}[(n+1)(n+2)...(n+n){]}^{\frac{1}{n}}$$

6 求参数问题

(一) 等价无穷小求参数问题 (比较无穷小的关系)

  解题方法：     $(1)$直接利用等价无穷小求解：       例1. 当$x\to 0$时，$\ln \cos ax\sim -2x^b(a>0)$，求$a$、$b$.        解：由$x\to 0$时，$\ln \cos ax\sim \cos ax-1\sim -\frac{1}{2}{a}^2{x}^2$，$-\frac{1}{2}{a}^2{x}^2\sim -2x^b$，得$a=b=2$.

      例2. 当$x\to 0$时，$(1+x\sin x{)}^a-1\sim 1-\cos x$，求$a$的值.        解：由$x\to 0$时，$(1+x\sin x{)}^a-1\sim 2a{x}^2$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，得$2a=\frac{1}{2}$，$a=\frac{1}{4}$.

    $(2)$如果题目含有定积分，可在草稿纸上通过对其求导确定阶数：       例3. 当$x\to 0$时，$f(x)={\int }_0^{x^2}\ln (1+t)dt\sim g(x)=x^a(e^{bx}-1)$，求$a、b$的值.        分析：$f^{\prime }(x)=[{\int }_0^{x^2}\ln (1+t)dt{]}^{\prime }=2x\cdot \ln (1+x^2)\sim 2x^3$，说明$f(x)\sim \frac{x^4}{2}$.        解：由$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}\ln (1+t)dt}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\cdot \ln (1+x^2)}{4x^3}=\frac{1}{2}$，$f(x)\sim \frac{x^4}{2}$，          再由 $g(x)=x^a(e^{bx}-1)\sim b{x}^{a+1}$，得$a=3，b=\frac{1}{2}$.

      如果题目中涉及未知函数，无法直接使用等价无穷小，可以通过假设阶数的方法判断阶数：        假设$g(x)$阶数为$n$，则通过已知条件和$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)}{x^n}$可以解出$n$.       例4. $f(x)$二阶连续可导，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=-2$. ${\int }_0^{t^2}tf(x^2-t)dt\sim a{x}^b(x\to 0)$，求$a$，$b$.        解： $1^o$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=-2\Rightarrow f(0)=0$；            $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{2x}=-2$(洛必达) $\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$；            $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2}=-2$(洛必达) $\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=-4$；          $2^o$ ${\int }_0^{t^2}tf(x^2-t)dt\stackrel{x^2-t=u}{}{x}^2{\int }_0^{x^2}f(u)du-{\int }_0^{x^2}uf(u)du$；          $3^o$ 假设${\int }_0^{t^2}tf(x^2-t)dt$阶数为$n$，            $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2{\int }_0^{x^2}f(u)du-{\int }_0^{x^2}uf(u)du}{x^n}$            $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x{\int }_0^{x^2}f(u)du}{n{x}^{n-1}}$；            $=\frac{2}{n}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x^2}f(u)du}{x^{n-2}}$；            $=\frac{2}{n}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2xf(x^2)}{(n-2)x^{n-3}}$；            $=\frac{4}{n(n-2)}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x^2)}{x^{n-4}}$；            由$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=-2$，当$n-4=4$，即$n=8$时，            $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x^2)}{x^{n-4}}=-2$，${\int }_0^{t^2}tf(x^2-t)dt\sim \frac{4}{8(8-2)}\times (-2)x^8=-\frac{1}{6}{x}^8$.            得$a=-\frac{1}{6}$，$b=8$。

    $(3)$ 不能直接使用等价无穷小，就需要麦克劳林公式解决：       例4. 当$x\to 0$时，$f(x)={\int }_0^{\tan x}\arctan t^{2}dt\sim g(x)=x-\text{sin}x$，比较这两个无穷小的关系.        分析：$f^{\prime }(x)=\arctan {\text{tan}}^{2}x\cdot \sec x^2\sim x^2({\tan }^{2}x+1)\sim x^2$，说明$f(x)\sim \frac{x^3}{3}$.        解：$g(x)=x-\sin x=x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))\sim \frac{1}{6}{x}^3$，         再由$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{\tan x}\arctan t^{2}dt}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan {\text{tan}}^{2}x\cdot \sec x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$，$f(x)\sim \frac{x^3}{3}$，         所以二者是同阶非等价的无穷小.

(二) 极限方程求参数问题

  题目特征：     1. 给定一个含$a、b$等参数的极限方程，求参数.     2. 确定常数，使$f(x)=ax+b{x}^2+...+o(x^n)$.

  解题方法：      $(1)$ 通分、二次项展开、抓大放小：       例1. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{10}}{(x+1{)}^n-x^n}=b(\ne 0)$，求$n、b$.       例2. $\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x^2+2x+3}{x-1}-ax-b)=0$，求$a、b$.

     $(2)$ 直接观察等价无穷小：       例. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5$，求$a、b$.       解：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{e^x-a}(\cos x-b)=5\Rightarrow a=1$，       $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{e^x-1}(\cos x-b)=5\Rightarrow b=-4$.

     $(3)$ 麦克劳林公式：       例. 设 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1-2x+3x^2)+ax+b{x}^2}{x^2}=2$，求$a、b$的值.       解: $\ln (1-2x+3x^2)=(-2x+3x^2)-\frac{(-2x+3x^2{)}^2}{2}+o(x^2)=-2x+x^2+o(x^2)$       则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1-2x+3x^2)+ax+b{x}^2}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(a-2)x+(b+1)x^2}{x^2}=2$，得$a=2、b=1$.

式子为多项式通常需要通分为分式.

(三) $x$的$n$阶无穷小求参数问题

  题目特征：     $f(x)$是$x$的$n$阶无穷小，求参数.

  解题方法：     一般需要麦克劳林公式求解.

  例. 当$x\to 0$时，$e^x-\frac{1+ax}{1+bx}$为$x$的$3$阶无穷小，求$a、b$的值.    解：     $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+o(x^3)$，     $\frac{1}{1+bx}=1-bx+b^2{x}^2-b^3{x}^3+o(x^3)$，     $\frac{1+ax}{1+bx}=(1-bx+b^2{x}^2-b^3{x}^3)[1+ax]=1+(a-b)x+(b^2-ab)x^2+(a{b}^2-b^3)x^3+o(x^3)$；     $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，     $e^x-\frac{1+ax}{1+bx}=(1-a+b)x+(\frac{1}{2}+ab-b^2)x^2+(\frac{1}{6}-a{b}^2+b^3)x^3+o(x^3)$，     因为$e^x-\frac{1+ax}{1+bx}$为$x$的$3$阶无穷小，故$\{\begin{array}{l}1-a+b=0,\\ \frac{1}{2}+ab-b^2=0,\\ \frac{1}{6}-a{b}^2-b^3\ne 0,\end{array}$     解得$a=\frac{1}{2}，b=-\frac{1}{2}$.

(四) 确定参数使$f(x)$成为当$x\to a$时阶数尽可能高的无穷小

  不断对$f(x)$求导，刚开始代入$x=a$时$f^{(n)}(a)$显然为$0$，直到求导到无法确定$f^{(n)}(a)$等于$0$，即可解出参数.

(五) 确定阶数$n$的范围

  给出两组等价无穷小，锁定阶数$n$.

7 已知极限求另一个极限

  特征：     设$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\text{tan}2x+xf(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2+f(x)}{x^2}=?$   解题方法：     通过等价无穷小、拆项法、麦克劳林公式，用已知极限凑出待求极限.

8 极限存在性证明

  证明极限存在性，即证明$a_n\exists$、证明$\{a_n\}$收敛：

(一) 单调有界数列的极限存在性证明

  对应准则：单调有界的数列必有极限.

  解题基本步骤：     $1^o$ $\{a_n\}$有无递推关系，若无，先求递推关系；     $2^o$ 分别证明单调性和有界性；

单调性证明方法总结

  $(1)$ 作差：判断$a_{n+1}-a_n$正负；

  如：$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})$，     $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})-a_n=\frac{1-a_n^2}{2a_n}$ (通分!).     根据已知条件，判断$\frac{1-a_n^2}{2a_n}$正负.     有的复杂题目还需要令$f(x)=a_{n+1}-a_n$研究单调性.

    有时需要结合几个重要不等式考虑！

  $(2)$ 作商：判断$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ($a_n>0$) 和$1$的大小关系，方法类似$(1)$；   $(3)$ 数学归纳法；

  如：证明$\{a_n\}$单调递增，即对$\forall n$有，$a_{n+1}>a_n$.     step 1. 当$n=1$时，$a_2>a_1$；     step 2. 假设$n=k$时，$a_{k+1}>a_k$成立，     step 3. 若能根据$a_{k+1}>a_k$推导出$a_{k+2}>a_{k+1}$，则结论成立.

  $(4)$ 递推函数法：      设 $a_{n+1}=f(a_n)$，      令$y=f(x)$，      若$f^{\prime }(x)⩾0\Rightarrow \{a_n\}$单调，若$\{\begin{array}{l}{a}_1⩽a_2,\uparrow ,\\ a_1⩾a_2,\downarrow .\end{array}$      前两项关系不确定时，不能用此法.   $(5)$ 中值定理($\text{L}$). 当递推关系出现$f({\Delta }_1)-f({\Delta }_2)$，要重点考虑.

有界性证明方法总结

  证明单调性后，$\{\begin{array}{l}\{a_n\}\uparrow ,a_n⩽M,\\ \{a_n\}\downarrow ,a_n⩾M.\end{array}$   $(1)$ 数学归纳法.   $(2)$ 结合几个重要不等式、 基本不等式 (算数平均值大于几何平均值)

  如：$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})⩾1$.     $\frac{1}{4}(3x_n+\frac{a}{x_n^3})⩾\sqrt[4]{x_n\cdot x_n\cdot x_n\cdot \frac{a}{x_n^3}}=\sqrt[4]{a}$.

  $(3)$ 先求出极限，此极限必然是数列的一个界.

  关于求极限：     有的题目会要求证明极限存在后求出该极限，通常利用递推关系列方程可直接解出 (可能需要根据条件舍掉增根)：      如：令 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=A,$        $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\Rightarrow A=\sqrt{2+A}\Rightarrow A=2$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$.     $\star$ 通常上面方程的解(其中之一)就是证明有界性时的上/下界 (非常重要!!!)：      比如上面的例子在证明有界性时，就应该证 $a_n⩽2$. 不能猜 (个别题目的界可能很复杂).

  $(4)$ 放缩.

  如：$a_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}$，证明数列收敛.   求出递推关系$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1{)}^2}$，确定数列单调增加.   下面证数列有上界：$a_n=\frac{1}{1\cdot 1}+\frac{1}{2\cdot 2}+...+\frac{1}{n\cdot n}⩽1+\frac{1}{1\cdot 2}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=2-\frac{1}{n}⩽2$.   数列收敛.

(二) 有界非单调数列的极限存在性证明 —— 压缩映射法

  定理：

    $\text{Th1}.$ $x_{n+1}=f(x_n)$，满足$f(a)=a$，若 $$|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|⩽r|x_n-a|$$

    且$r<1$，则有$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$. 其中$r$称为压缩常数.

  推导： $$0⩽|x_{n+1}-a|=|f(x_n)-f(a)|⩽r|x_n-a|⩽r^2|x_{n-1}-a|⩽...⩽r^n|x_1-a|$$

    而$\underset{n\to \infty }{\lim }r|x_n-a|=0$，所以$\underset{n\to \infty }{\lim }|x_{n+1}-a|=0$.     即$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$.

    $\text{Th2.}$ $x_{n+1}=f(x_n)$，若$f(x)$可微，且 $$f^{\prime }(x)⩽r(0<r<1)，$$

    则$\{x_n\}$收敛. 其中$r$称为压缩常数.

  推导： $$|f(x_n)-f(a)|=|f^{\prime }(\xi )(x_n-a)|=|f^{\prime }(\xi )||x_n-a|⩽|x_n-a|$$

    由此转化为$\text{Th1}$.

  注意：     (1) 从推导可以看出压缩映射法本质上是夹逼准则的应用，需要运用放缩的思想.     (2) 压缩映射法通常用于非单调数列极限存在性的证明，但也可用于单调数列.     (3) 定理中的界$a$可通过递推式先直接求出来.

  例. 设数列$\{x_n\}$满足$x_1=1$，$x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}$，$n=1,2,...$，证明$\{x_n\}$极限存在并求之.

  证：显然，$x_n⩾1$.     (根据递推式分析求出$A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)     令$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，于是有 $$|x_n-a|=|1+\frac{1}{x_n}-(1+\frac{1}{a})|=|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{a}|$$$$=\left|\frac{x_n-a}{a{x}_n}\right|⩽\frac{1}{a}|x_n-a|$$

    因为$\frac{1}{a}<1$，所以$\{x_n\}$极限存在.     令$A=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$，对递推式两边去极限求得$A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (实际上在分析时已经"猜"出).

9 极限保号性应用

  极限保号性的三种形式：

若$\underset{n\to a}{\lim }f(x)=A>0(<0)$，则存在$\delta >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，有$f(x)>0(<0)$.

  极限正，去心邻域正；极限负，去心邻域负.

若$f(x)⩾0(⩽0)$，且$\lim f(x)=A$，则$A⩾0(⩽0)$.

  函数值非负，极限非负；函数值非正，极限非正.

若$f(x)⩾g(x)$，且$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，则$A⩾B$.

  判断极值点：     例. $f(1)=2$，$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{(x-1{)}^2}=3$，判断$x=1$是什么点？       $\because \underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-2}{(x-1{)}^2}=3>0$，       $\therefore \exists \delta >0$，当 $0<|x-1|<\delta$时，有             $\frac{f(x)-2}{(x-1{)}^2}>0$，       $\because (x-1{)}^2>0$，       $\therefore f(x)-2>0$，$f(x)>2$，       $\Rightarrow f(x)>f(1)$       $\therefore x=1$为$f(x)$ 的极小值点.

  判断拐点，思路同上.

10 相关定理结论证明

证明有界性的充要条件： 有界 $\iff$ 有上界且有下界；证明极限的有界性： $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}_n=A\Rightarrow \exists M>0$ , 使$|a_n|⩽M$；证明积分中值定理： 设$f(x)\in C[a,b]$，则$\exists \xi \in [a,b]$，使${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$.极限保号性证明.证明等价无穷小的性质： $\alpha \sim \beta \iff \beta =\alpha +o(\alpha )$.证明$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2})$.

Part 2 - 连续

记忆内容

1 连续的条件

    $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$.

2 间断点分类

    第一类间断点： $f(a-0)、f(a+0)\exists$

条件进一步分为$f(a-0)=f(a+0)$可去间断点$f(a-0)\ne f(a+0)$跳跃间断点

    第二类间断点：$f(a-0)、f(a+0)$至少一个不存在.

3 零点定理

  设$f(x)\in C[a,b]$，且$f(a)f(b)<0$，则$\exists c\in (a,b)$，使$f(c)=0$.

  零点定理推广：     设$f(x)\in C[a,+\infty )$，且$f(a)\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)<0$，则$\exists c\in (a,+\infty )$，使$f(c)=0$.

4 介值定理

  设$f(x)\in C[a,b]$，$\forall \eta \in [m,M]$，$\exists \xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=\eta$.

题型

1 连续条件求参数问题

  利用连续条件($f(a-0)=f(a+0)=f(a)$)直接求出.

  例. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3\arctan x+b\sin 2x}{\ln (1+x)},& x>0，\\ 1,& x=0，\\ \frac{1-\sqrt[a]{1-x^2}}{x^2},& x<0.\end{array}$在$x=0$连续，求$a、b$.

2 间断点分类问题

  解题步骤：     1. 找出所有间断点：       $x=x_1，x=x_2，...$ 是$f(x)$间断点；     2. 对于每一个间断点$x_i$：       先求该点的左右极限(能够确定两侧极限一样就不必分开求左右极限)：       $f(x_i-0)=?$，$f(x_i+0)=?$；       判断间断点的类型：       由$...$，得$x=x_i$是xx间断点.

  识别间断点的方法：     case 1. 无定义点.

    (1) 分式的分母为$0$.     (2) 三角函数如$\sin x$、$\sin \pi x$等出现在分母可以得到一系列间断点.     (3) $\frac{?}{|x-a|}$、$\text{ln}|x|$等分左右极限检查.     (4) $f(x)$含$a^{\frac{?}{x-b}}$或$a^{\frac{?}{b-x}}$，当$x\to b$时，分左右极限检查.     (5) $\arctan \frac{a}{x}$分左右.

    case 2. 分段函数的分段点.

  类型：     (一) 直接通过给定函数，确定间断点，判定其类型

    (二) 先通过极限求出分段函数，再确定间断点，判定其类型

    (三) 给定分段函数，确定间断点，判定其类型

3 分段函数问题

  解题方法：    (1) 找出分段函数.    (2) 判断分段点是否连续.

4 补点连续问题

  例. $f(x)=\frac{\sin 2x}{x}\in C(0,1]$，补$f(0)$，使$f(x)\in C[0,1]$.

5 闭区间上连续函数性质 (证明题)

最值 设 $f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上取得$m、M$.有界 设 $f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上有界.零点定理     特征：$f(x)\in C[a,b]$，$\exists \xi \in (a,b)$，开区间.     例: 证明$x^5-3x+1=0$至少一个正根. 零点定理推广：     设$f(x)\in C[a,+\infty )$，且$f(a)\cdot \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)<0$，则$\exists c\in (a,+\infty )$，使$f(c)=0$.介值定理     特征：$f(x)\in C[a,b]$，$if\{\begin{array}{l}\xi \in [a,b]；\\ 函数值之和.\end{array}$     例: $f(x)\in C[0,1]$，$f(0)+2f(1)=3$，证$\exists \xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=1$.