三、区间估计：使用Python进行两个正态总体参数的区间估计

设样本$(X_1,...,X_{n1})$和$(Y_1,...,Y_{n2})$分别来自总体$N({\mu }_1,\sigma 1^2)$和$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，并且它们相互独立. 样本均值分别为$\overline{X},\overline{Y}$; 样本方差分别为$S_1^2,S_2^2$. 置信水平为$1-\alpha$.

1. ${\mu }_1-{\mu }_2$的置信区间

1.1. ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$已知时

由${\mu }_1-{\mu }_2$的估计是$\overline{X}-\overline{Y}$的分布，得枢轴量： $$\frac{(\overline{x}-\overline{y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$ 得其置信区间为： $$(\overline{X}-\overline{Y})\pm Z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}$$

1.2. ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$且未知

以$S_w^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$代替${\sigma }^2$得到枢轴量： $$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$ 得其置信区间为： $$(\overline{X}-\overline{Y})\pm t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$

1.3. ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$且未知

以$S_1^2$估计${\sigma }_1^2$, 以$S_2^2估计{\sigma }_2^2$ 当样本量$n_1$和$n_2$都充分大时（一般要>30）, $$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_1^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$ 得其近似置信区间： $$(\overline{X}-\overline{Y})\pm Z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$$ 当样本量很小的时 $$\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\sim t(k)$$ 其中$k\approx min(n_1-1,n_2-1)$ 则其近似置信区间为： $$(\overline{X}-\overline{Y})\pm t_{\alpha /2}(k)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$$

2. $\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$的置信区间(${\mu }_1,{\mu }_2$未知)

由$\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$的估计$\frac{S_1^2}{S_2^2}$得到枢轴量： $$\frac{S_1^1/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$ 得其置信区间为： $$\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)}$$

3. Python代码对区间估计的实现

3.1. 均值差的估计

def confidence_interval_udif(data1, data2, sigma1=-1, sigma2=-2, alpha=0.05): xb1=np.mean(data1) xb2 = np.mean(data2) n1 = len(data1) n2 = len(data2) if sigma1>0 and sigma2 >0: # 方差已知 tmp = np.sqrt(sigma1**2/n1 + sigma2**2/n2) Z = stats.norm(loc=0., scale=1.) return ( (xb1-xb2) + tmp*Z.ppf(alpha/2), (xb1-xb2) - tmp*Z.ppf(alpha/2)) else: # 方差未知 if sigma1 == sigma2: #未知且相等 sw = ((n1-1)*np.var(data1, ddof=1) + (n2-1)*np.var(data2, ddof=1))/(n1+n2-2) tmp = np.sqrt(sw) * np.sqrt(1/n1 + 1/n2) T = stats.t(df=n1+n2-2) return ((xb1-xb2)+tmp*T.ppf(alpha/2), (xb1-xb2)-tmp*T.ppf(alpha/2)) else: # 未知且不等 tmp = np.sqrt(np.var(data1, ddof=1)/n1 + np.var(data2, ddof=1)/n2) k = np.min([n1-1, n2-1]) T = stats.t(df=k) return ((xb1-xb2)+tmp*T.ppf(alpha/2), (xb1-xb2)-tmp*T.ppf(alpha/2))

3.2. 方差比的估计

def confidence_interval_varRatio(data1, data2,alpha=0.05): n1 = len(data1) n2 = len(data2) tmp = np.var(data1, ddof=1)/np.var(data2, ddof=1) F = stats.f(dfn=n1-1, dfd=n2-1) return tmp/F.ppf(1-alpha/2),tmp/F.ppf(alpha/2)

4 实例验证

例： 两台机床生产同一型号滚珠，从甲机床生产的滚珠中取8个，从乙机床生产的滚珠中取9个，测得这些滚珠的直径(单位：毫米)如下： 甲机床：15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8 乙机床：15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5, 15.0 设两机床生产的滚珠直径分别为X, Y, 且 $$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$$ 求置信水平为0.9的双侧置信区间： (1) ${\sigma }_1=0.8,{\sigma }_2=0.24,$求${\mu }_1-{\mu }_2$的置信区间； (2) 若${\sigma }_1={\sigma }_2$且未知，求${\mu }_1-{\mu }_2$的置信区间； (3) 若${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$, 求${\mu }_1-{\mu }_2$的置信区间； (4) 若${\mu }_1,{\mu }_2$未知， 求$\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$的置信区间. 解：(1)

data1 = np.array([15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8]) data2 = np.array([15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5, 15.0]) confidence_interval_udif(data1, data2, 0.18, 0.24, 0.1) # 结果： (-0.018145559249408555, 0.31814555924941279)

(2)

data1 = np.array([15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8]) data2 = np.array([15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5, 15.0]) confidence_interval_udif(data1, data2, -1, -1, 0.1) # 结果： (-0.044246980022314808, 0.34424698002231907)

(3)

data1 = np.array([15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8]) data2 = np.array([15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5, 15.0]) confidence_interval_udif(data1, data2, -1, -2, 0.1) # 结果: (-0.058430983560407906, 0.35843098356041214)

(4)

data1 = np.array([15.0, 14.8, 15.2, 15.4, 14.9, 15.1, 15.2, 14.8]) data2 = np.array([15.2, 15.0, 14.8, 15.1, 14.6, 14.8, 15.1, 14.5, 15.0]) confidence_interval_varRatio(data1, data2,alpha=0.1) # 结果： (0.22712162982480297, 2.9620673328677332)

5. 参考文件

《概率论与数理统计》 浙大numpy and scipy documents

6. 欢迎交流学习

email: hflag@163.comqq: 532843488 本人一直从事《概率论与数理统计》的教学，欢迎遇到问题的童靴们联系我。