线性方程式表示

示例1

解方程组： $$\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 4+4y=11\end{array}$$

把方程组转换为矩阵表示，再求解

$$\underset{A}{\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\end{array}\right]}\underset{x}{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}=\underset{b}{\left[\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right]}$$ $$Ax=b$$

示例2

方程式表示 $$\{\begin{array}{l}{V}_1=R_1{i}_1+R_4{i}_4\\ R_4{i}_4=R_2{i}_2+R_5{i}_5\\ R_5{i}_5=R_3{i}_3+V_2\\ i_1=i_2+i_4\\ i_2=i_3+i_5\end{array}$$ 矩阵表示 $$\underset{A}{\left[\begin{array}{ccccc}{R}_1& 0& 0& R_4& 0\\ 0& R_2& 0& -R_4& R_5\\ 0& 0& -R_3& 0& R_5\\ 1& -1& 0& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0& -1\end{array}\right]}\underset{x}{\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ i_3\\ i_4\\ i_5\end{array}\right]}=\underset{b}{\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ 0\\ V_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]}$$

解线性方程式

消去法——高斯消去法：rref()

示例

A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4]; b = [2; 7; 3]; R = rref([A b])

LU Factorization – lu()

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 4& 6& 8\end{array}\right]b=\left[\begin{array}{c}2\\ 7\\ 3\end{array}\right]$$

正片开始-矩阵左除：\ or mldivide()

举例

$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2x+6y+z=7\\ x+y+4z=3\end{array}$$

%方法一： A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4]; b = [2; 7; 3]; x = A\b %方法二：克拉默法则（下面有说明） A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4]; b = [2; 7; 3]; x = inv(A)*b

练习：解方程式 $$\{\begin{array}{l}{V}_1=R_1{i}_1+R_4{i}_4\\ R_4{i}_4=R_2{i}_2+R_5{i}_5\\ R_5{i}_5=R_3{i}_3+V_2\\ i_1=i_2+i_4\\ i_2=i_3+i_5\end{array}$$ 第一步： 矩阵表示 $$\underset{A}{\left[\begin{array}{ccccc}{R}_1& 0& 0& R_4& 0\\ 0& R_2& 0& -R_4& R_5\\ 0& 0& -R_3& 0& R_5\\ 1& -1& 0& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0& -1\end{array}\right]}\underset{x}{\left[\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ i_3\\ i_4\\ i_5\end{array}\right]}=\underset{b}{\left[\begin{array}{c}{V}_1\\ 0\\ V_2\\ 0\\ 0\end{array}\right]}$$ 第二步：写代码

syms V1 V2 R1 R2 R3 R4 R5; A = [R1 0 0 R4 0;0 R2 0 -R4 R5;0 0 -R3 0 R5;1 -1 0 -1 0;0 1 -1 0 -1]; b = [V1;0;V2; 0;0]; x = A\b

矩阵求解函数

方法解释qrOrthogonal-triangular decompositionldlBlock LDL’ factorization for Hermitian indefinite matricesiluSparse incomplete LU factorizationluLU matrix factorizationcholCholesky factorizationgsvdGeneralized singular value decompositionsvdSingular value decomposition

克拉默法则（Cramer’s method）——求逆

$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]A^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}$$ $$adj(A)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]det(A)=|ad-bc|$$

矩阵的逆定义： $$A^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)=\frac{1}{det(A)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

举例 $$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2x+6y+z=7\\ x+y+4z=3\end{array}⟹\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 6& 1\\ 1& 1& 4\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{c}2\\ 7\\ 3\end{array}\right]$$ 求解$x=A^{-1}b$

A = [1 2 1;2 6 1;1 1 4]; b = [2; 7; 3]; x = inv(A)*b

该方法存在一个问题：矩阵的逆有可能不存在（即矩阵A有无限多个解，或者无解的情况），如 （注：当A有唯一解时，可逆） $$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 9& 8& 7& 6\\ 1& 3& 2& 8\end{array}\right]$$

A = [ 1 2 3 4; 2 4 6 8; ... 9 8 7 6; 1 3 2 8]; inv(A) det(A) %当矩阵A不可逆时，det(A)=0 %INF：无限大

练习 步骤一：转换为矩阵表示 $$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x-y+z=0\\ x+3z=0\end{array}⟹\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$ 剩下有时间再画图了

检查矩阵条件的函数

函数说明condMatrix condition number（得到的值越小矩阵越“健康”}rankMatrix rank

举例

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4.0001& 6\\ 9& 8& 7\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 6\\ 9& 8& 7\end{array}\right]$$

A = [ 1 2 3; 2 4.0001 6; 9 8 7]; cond(A) B = [ 1 2 3; 2 5 6; 9 8 7]; cond(B)

问题：解线性方程：$y=Ab$

举例 $$\{\begin{array}{l}2\cdot 2-12\cdot 4=x\\ 1\cdot 2-5\cdot 4=y\end{array}\{\begin{array}{l}3x-2y=5\\ 4+4y=11\end{array}$$ 用矩阵表示 $$\underset{A}{\left[\begin{array}{cc}2& -12\\ 1& -5\end{array}\right]}\underset{b}{\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]}=\underset{y}{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}\underset{A}{\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\end{array}\right]}\underset{x}{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]}=\underset{b}{\left[\begin{array}{c}5\\ 11\end{array}\right]}$$

特征值与特征向量 说明 ${\lambda }_i>1⟹$系统是放大状态 ${\lambda }_i=1⟹$系统是不变状态 ${\lambda }_i<1⟹$系统是缩小状态 特征值$\lambda$表示大小，特征向量$v_i$表示方向

eig()

说明： e = eig(A) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 的特征值。 e = eig(A,B) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 和 B 的广义特征值。

[v,d]=eig([2 -12;1 -5]

矩阵指数：expm()

说明： Y = expm(X) 计算 X 的矩阵指数。虽然不按此种方式计算，但是如果 X 包含一组完整的特征向量 V 和对应特征值 D，则 [V,D] = eig(X) 且 expm(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V 对于逐个元素的指数运算，请使用 exp。

A = [0 -6 -1; 6 2 -16; -5 20 -10]; x0 = [1 1 1]'; X = []; for t = 0:.01:1 X = [X expm(t*A)*x0]; end plot3(X(1,:),X(2,:),X(3,:),'-o'); xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3'); grid on; axis tight square; %有时间再阅读

备注：太难了，看视频理解吧（从1h5min处开始）