2的非负整数次幂的判断方法、证明以及一些思考

问题：

如何判断一个给定的整数是否为2的非负整数次幂？

通常的解法或者需要O(LOGN)的时间开销；或者通过时间换空间策略，建立一个LOG(MAX)大小的hash table解决限定范围内数据的判断问题。我们需要意识到的是，后者事实上是把运行时的运算开销前置到了编译期，总的计算成本是一样的。

前几天在学习极客时间上吴咏炜老师的《现代C++实战30讲》课程（顺便推荐吴咏炜老师的这门C++课程，需要有C++开发经验）时，发现吴老师在范例代码中展示了一种非常巧妙的算法：

 

X & (X - 1) == 0

 

思考了一下，发现这个算法非常优美且高效。其几乎接近原子操作，和其他算法O(LogN)的时间开销比起来判若云泥。以至于我甚至一度怀疑这两个命题的等价性。遂尝试如下证明：

 

证明 ”X是2的非负整数次幂“ 与 ”X & (X - 1) == 0“ 是等价的；

 

充分性证明：

已知X是2的正整数次幂；可一般性假设X的二进制可表达为m位上1，从m-1位到1位共m-1个0；任取Y < X, 可知Y的二进制表达中，第m位必为0；显见X & Y == 0; 可推知X & (X - 1) == 0;

 

必要性证明：

使用反证法。已知X&(X-1) == 0; 假设X不是2的正整数次幂；

则X的二进制表达为m位上是1，从位到1位至少还还存在一个1；一般性假设第位是1；则有：

 

 

易得：

 

 

由于，可得：

 

 

进一步可得:

 

 

可推出:

 

 

即：

 

 

X - 1二进制表达中第m位必定为1；可推出X & (X - 1) != 0；与已知矛盾，假设条件不成立；

 

等价性成立。证明完毕。

 

思考：

类似的高效等价操作还有：右移操作和➗2；

针对2的整数次幂存在这样高效的算法，可以看做是使用二进制计数的红利。其实对于任意X进制系统中，X的任意整数次幂的判断是同样高效的。