二叉树

1.为什么需要树这种数据结构?

1.1.数组存储方式的分析

1>.优点

通过下标方式访问元素,速度快.对于有序数组,还可使用二分查找提高检索速度;

2>.缺点

如果要检索具体某个值,或者插入值(按一定顺序)会整体移动,效率较低;

3>.操作示意图

1.2.链式存储方式的分析

1>.优点

在一定程度上对数组存储方式有优化(比如:插入一个数值结点,只需要将插入结点链接到链表中即可,删除效率也很好);

2>.缺点

在进行检索时,效率仍然较低,比如(检索某个值,需要从头结点开始遍历);

3>.操作示意图

1.3.树存储方式的分析

1>.能提高数据存储,读取的效率,比如利用二叉排序树(Binary Sort Tree),既可以保证数据的检索速度,同时也可以保证数据的插入,删除,修改的速度;

2>.操作示意图:[7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

2.树的基本概念

1>.树是一种数据结构,是一种可以递归定义的数据结构;

2>.树是由n个结点组成的集合;

2.1.树的常用术语

说明:

①.路径: 从一个结点到另一个结点所经过的结点顺序排序称为路径;

②.根结点: 树最上面的结点称为根结点(root),一棵树只有一个根结点,而且从根结点到任意结点有且只有一条路径;

③.父结点/双亲结点: 每个结点都有一条边向上连接到另一个结点,上面的这个结点就是下面这个结点的父结点/双亲结点;

④.子结点: 每个结点都有一条边向下连接到另一个结点,下面的这个结点就是上面这个结点的子结点(注:二叉树中每个父结点最多只有两个子结点);

⑤.叶子结点: 没有(向下)子结点的结点称为叶子结点;

⑥.子树: 每个结点都可以作为一个子树的根结点,他和他所有的子结点以及子结点的子结点组合在一起就是一个子树;

⑦.结点的层: 从根结点开始定义,根结点为第1层,根结点的子结点为第2层,以此类推…;

⑧.结点的度: 一个结点含有的(直接)子结点/子树的个数称为该结点的度;

⑨.树的高度: 树中结点的最大层次/层数,一般从根结点算起,从上往下,一共有几层,那么他的高度就是多少;

⑩.结点的权: 结点上赋予的数值称为结点的权;

①①.森林: 多棵(子)树组成的集合就是森林;

2.2.二叉树

2.2.1.简介

1>.在一棵树中,每个(父)结点下面的子结点的个数不能超过2个(/最多只能有2个),这样的树结构就是二叉树;

2>.二叉树的子结点分为左(子)结点和右(子)结点;

3>.二叉树示意图

2.3.满二叉树

2.3.1.简介

1>.如果该二叉树的所有叶子结点都在最后一层,并且结点总数=2^n-1,n为层数,则我们称这样的二叉树为满二叉树;

2>.满二叉树示意图

2.4.完全二叉树

2.4.1.简介

1>.在一个二叉树结构中,所有叶子结点都出现在最后一层或者倒数第二层,且最后一层的叶子结点在左边连续(从左往右,所有结点都是连着的,没有空缺),倒数第二层的叶子结点在右边连续(从右往左,所有结点都是连着的,没有空缺),这样的二叉树就是完全二叉树;

注意:满二叉树是完全二叉树,但是完全二叉树不一定是满二叉树!

2>.完全二叉树示意图

##扩展:如何判断一棵二叉树树是否为完全二叉树?

可以用数数的方式:从上往下,从左往右,假设每个父结点都有左右两个子结点,从1开始,将所有的结点都数完,如果中间有空缺的/不连续的,则表示不是当前这棵树不是完全二叉树;否则这就是一棵完全二叉树;

3.链式存储二叉树

按照树的方式去操作元素

3.1.构建二叉树

public class TestBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //创建一棵树(空) BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); //创建一个根结点 TreeNode rootNode = new TreeNode(1); //二叉树设置根结点 binaryTree.setRoot(rootNode); //创建一个左子结点 TreeNode rootL = new TreeNode(2); rootNode.setLeftChildNode(rootL); //创建一个右子结点 TreeNode rootR = new TreeNode(3); rootNode.setRightChildNode(rootR); System.out.println(binaryTree.getRoot().getValue()); } } class BinaryTree{ //根结点 TreeNode root; //设置根结点 public void setRoot(TreeNode root) { this.root = root; } //获取根结点 public TreeNode getRoot() { return root; } } //二叉树的结点 class TreeNode{ //结点的值 int value; //左子结点 TreeNode leftChildNode; //右子结点 TreeNode rightChildNode; public TreeNode(int value){ this.value=value; } //获取结点的值 public int getValue(){ return this.value; } //设置左子结点 public void setLeftChildNode(TreeNode leftChildNode) { this.leftChildNode = leftChildNode; } //设置右子结点 public void setRightChildNode(TreeNode rightChildNode) { this.rightChildNode = rightChildNode; } }

3.2.遍历二叉树

3.2.1.前序遍历(先输出根/父结点,再递归继续前序遍历左子树和右子树)

1>.流程说明:

①.先取出根结点(/父结点); ----------取出根结点(/父结点)-------------

②.再取根结点的左子结点,如果左子结点还有子结点,接着往下取左子结点…;

③.当所有的左子结点都取完之后,从最下面那个左子树开始,取右侧的叶子结点,因为左侧的叶子结点已经取出来了;到这里,一颗左子树就取完了; ----------递归遍历左子树-------------

④.最后按照遍历左子树的方式遍历同一个父结点下(/同一层)的右子树; ----------递归遍历右子树-------------

⑤.一层一层往上遍历其他子树,当根结点左侧的所有子树都遍历完了,再按照同样的方式遍历根结点右侧的所有子树;

3.2.2.中序遍历(先递归中序遍历左子树,然后输出父/根结点,再递归中序遍历右子树)

1>.流程说明:

①.先找到根结点左侧的最底层的左子树,先取出左子树的叶子结点,再取出最底层的左子树的父结点,最后取出最底层的左子树的右侧叶子结点;到这里,一颗左子树就取完了; ----------递归遍历左子树-------------

②.然后再往上取出父结点(/根结点); ----------取出父结点(/根结点)-------------

③.最后按照遍历左子树的方式遍历同一个父结点下的右子树; ----------递归遍历右子树-------------

④.一层一层往上取其他子树,当根结点左侧的所有子树都遍历完了,再取出根结点,最后再按照同样的方式遍历根结点右侧的所有子树;

3.2.3.后序遍历(先递归后序遍历左子树,再递归后序遍历右子树,最后输出父/根结点)

1>.流程说明

①.先找到根结点左侧的最底层的左子树,先取出左侧的叶子结点,再取出最底层的左子树的右侧的叶子结点,最后取出最底层左子树的父结点;到这里,一颗左子树就取完了; ----------递归遍历左子树-------------

②.然后再按照遍历左子树的方式遍历同一个父结点下的右子树; ----------递归遍历右子树-------------

③.最后往上取出父结点; ----------取出父结点-------------

④.一层一层往上取其他子树,当根结点左侧的所有子树都遍历完了,再以遍历左子树的方式遍历根结点右侧的所有子树;

⑤.最后取出根结点; ----------取出根结点-------------

3.2.4.案例

1>.实现思路

2>.代码实现

public class TestBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //定义一颗二叉树 BinaryTree1 binaryTree1 = new BinaryTree1(); //定义二叉树的结点 HeroNode heroNode1 = new HeroNode(1, "宋江"); HeroNode heroNode2 = new HeroNode(2, "吴用"); HeroNode heroNode3 = new HeroNode(3, "卢俊义"); HeroNode heroNode4 = new HeroNode(4, "林冲"); //手动将结点挂载到二叉树中 heroNode1.setLeft(heroNode2); heroNode1.setRight(heroNode3); heroNode3.setRight(heroNode4); binaryTree1.setRoot(heroNode1); //前序遍历 //binaryTree.preOrder(); //1,2,3,4 //中序遍历 //binaryTree.infixOrder(); //2,1,3,4 //后序遍历 binaryTree1.postOrder(); //2,4,3,1 } } //创建二叉树 class BinaryTree1 { //二叉树的根结点 private HeroNode root; public void setRoot(HeroNode root) { this.root = root; } //前序遍历(供外部调用) public void preOrder() { if (this.root != null) { this.root.preOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行前序遍历!"); } } //中序遍历(供外部调用) public void infixOrder() { if (this.root != null) { this.root.infixOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行中序遍历!"); } } //后序遍历(供外部调用) public void postOrder() { if (this.root != null) { this.root.postOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行后序遍历!"); } } } //先创建二叉树的结点对象 class HeroNode { private int no; private String name; private HeroNode left; private HeroNode right; public HeroNode(int no, String name) { this.no = no; this.name = name; } public int getNo() { return no; } public void setNo(int no) { this.no = no; } public String getName() { return name; } public void setName(String name) { this.name = name; } public HeroNode getLeft() { return left; } public void setLeft(HeroNode left) { this.left = left; } public HeroNode getRight() { return right; } public void setRight(HeroNode right) { this.right = right; } @Override public String toString() { return "HeroNode{" + "no=" + no + ", name='" + name + '\'' + '}'; } //前序遍历 public void preOrder() { //先取出当前结点(第一次是父/根结点) System.out.println(this); //递归向左子树进行前序遍历 if (this.left != null) { //对父/根结点的左子结点继续遍历 this.left.preOrder(); } //递归向右子树进行前序遍历 //此时this就是最后一层的最左边的子结点,它的右子结点也是null //然后回到上一轮递归,即最后一层的最左边的子结点的父结点,遍历右子结点,就这样一层一层往上输出右子结点 //当回到第一次递归的时候,this就是根结点,此时它的左侧子结点全部遍历完成,然后按照相同方式继续遍历右侧的子结点 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.preOrder(); } } //中序遍历 public void infixOrder() { //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对当前结点(第一次是父/根结点)的左子结点继续遍历 this.left.infixOrder(); } //输出当前结点,即最底层左子树的左子结点 //当回到上一轮递归,这里的this就是最底层左子树的父结点 System.out.println(this); //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.infixOrder(); } } //后序遍历 public void postOrder() { //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对的左子结点继续遍历 this.left.postOrder(); } //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.postOrder(); } //输出当前结点,第一次输出的是最底层左子树的左子结点 //然后回到上一轮递归,此时这个this就是最底层左子树的右子结点 //然后再回到上一轮递归,此时这个this就是最底层左子树的父结点 //... System.out.println(this); } }

3.3.查找二叉树中指定的结点

1>.实现思路

2>.代码实现

public class TestBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //定义一颗二叉树 BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); //定义二叉树的结点 HeroNode heroNode1 = new HeroNode(1, "宋江"); HeroNode heroNode2 = new HeroNode(2, "吴用"); HeroNode heroNode3 = new HeroNode(3, "卢俊义"); HeroNode heroNode4 = new HeroNode(4, "林冲"); HeroNode heroNode5 = new HeroNode(5, "关胜"); //手动将结点挂载到二叉树中 heroNode1.setLeft(heroNode2); heroNode1.setRight(heroNode3); heroNode3.setRight(heroNode4); heroNode3.setLeft(heroNode5); binaryTree.setRoot(heroNode1); //前序遍历查找 System.out.println(binaryTree.preOrderSearch(5)); //中序遍历查找 System.out.println(binaryTree.infixOrderSearch(5)); //后序遍历查找 System.out.println(binaryTree.postOrderSearch(5)); } } //创建二叉树 class BinaryTree { //二叉树的根结点 private HeroNode root; public void setRoot(HeroNode root) { this.root = root; } //前序遍历查找(供外部调用) public HeroNode preOrderSearch(int no) { if (this.root != null) { return this.root.preOrderSearch(no); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行前序遍历!"); return null; } } //中序遍历查找(供外部调用) public HeroNode infixOrderSearch(int no) { if (this.root != null) { return this.root.infixOrderSearch(no); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行中序遍历!"); return null; } } //后序遍历查找(供外部调用) public HeroNode postOrderSearch(int no) { if (this.root != null) { return this.root.postOrderSearch(no); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行后序遍历!"); return null; } } } //先创建二叉树的结点对象 class HeroNode { private int no; private String name; private HeroNode left; private HeroNode right; public HeroNode(int no, String name) { this.no = no; this.name = name; } public int getNo() { return no; } public void setNo(int no) { this.no = no; } public String getName() { return name; } public void setName(String name) { this.name = name; } public HeroNode getLeft() { return left; } public void setLeft(HeroNode left) { this.left = left; } public HeroNode getRight() { return right; } public void setRight(HeroNode right) { this.right = right; } @Override public String toString() { return "HeroNode{" + "no=" + no + ", name='" + name + '\'' + '}'; } //前序遍历查找 public HeroNode preOrderSearch(int no) { System.out.println("前序遍历"); //先比较当前结点(第一次是父/根结点)是否为要查询的目标结点 if (this.no == no) { return this; } //由于使用了递归,所以需要定义一个对象接受返回的结果 HeroNode resHeroNode = null; //递归向左子树进行前序遍历 if (this.left != null) { //对父/根结点的左子结点继续遍历 resHeroNode = this.left.preOrderSearch(no); } if (resHeroNode != null) { return resHeroNode; } //如果递归左子树没有找到目标结点,继续递归右子树查找 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 resHeroNode = this.right.preOrderSearch(no); } return resHeroNode; } //中序遍历查找 public HeroNode infixOrderSearch(int no) { HeroNode resHeroNode = null; //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对当前结点的左子结点继续遍历 resHeroNode = this.left.infixOrderSearch(no); } if (resHeroNode != null) { return resHeroNode; } System.out.println("中序遍历"); //判断当前结点(第一次是最底层左子树的左子结点) if (this.no == no) { return this; } //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 resHeroNode = this.right.infixOrderSearch(no); } return resHeroNode; } //后序遍历查找 public HeroNode postOrderSearch(int no) { HeroNode resHeroNode = null; //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对父/根结点的左子结点继续遍历 resHeroNode = this.left.postOrderSearch(no); } if (resHeroNode != null) { return resHeroNode; } //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 resHeroNode = this.right.postOrderSearch(no); } if (resHeroNode != null) { return resHeroNode; } System.out.println("后序遍历"); //判断当前结点(第一次是最底层左子树的左子结点)是否为要查找的目标结点 if (this.no == no) { return this; } return resHeroNode; } }

3.4.删除二叉树中的结点/子树

1>.要求

①.如果删除的结点是叶子结点(没有子结点的结点),则删除该结点; ②.如果删除的结点是非叶子结点(父结点/根结点),则删除该子树;

2>.实现思路 3>.代码实现

public class TestBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //定义一颗二叉树 BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); //定义二叉树的结点 HeroNode heroNode1 = new HeroNode(1, "宋江"); HeroNode heroNode2 = new HeroNode(2, "吴用"); HeroNode heroNode3 = new HeroNode(3, "卢俊义"); HeroNode heroNode4 = new HeroNode(4, "林冲"); HeroNode heroNode5 = new HeroNode(5, "关胜"); //手动将结点挂载到二叉树中 heroNode1.setLeft(heroNode2); heroNode1.setRight(heroNode3); heroNode3.setRight(heroNode4); heroNode3.setLeft(heroNode5); binaryTree.setRoot(heroNode1); //删除前 binaryTree.preOrder(); //1,2,3,5,4 //删除中 binaryTree.deleteNode(3); //删除后 System.out.println("删除了卢俊义这个结点"); binaryTree.preOrder(); //1,2 } } //创建二叉树 class BinaryTree { //二叉树的根结点 private HeroNode root; public void setRoot(HeroNode root) { this.root = root; } //删除二叉树的结点 public void deleteNode(int no) { if (this.root != null) { //如果根结点就是要删除的结点,将其置为null,然后结束; if (this.root.getNo() == no) { this.root = null; } else { //删除之前可以先查找要删除的结点是否存在于二叉树中,这里省略了... //递归子结点进行删除 this.root.deleteNode(no); } } else { System.out.println("空树不能删除!"); } } //前序遍历(供外部调用) public void preOrder() { if (this.root != null) { this.root.preOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行前序遍历!"); } } //中序遍历(供外部调用) public void infixOrder() { if (this.root != null) { this.root.infixOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行中序遍历!"); } } //后序遍历(供外部调用) public void postOrder() { if (this.root != null) { this.root.postOrder(); } else { System.out.println("当前二叉树为空,无法进行后序遍历!"); } } } //先创建二叉树的结点对象 class HeroNode { private int no; private String name; private HeroNode left; private HeroNode right; public HeroNode(int no, String name) { this.no = no; this.name = name; } public int getNo() { return no; } public void setNo(int no) { this.no = no; } public String getName() { return name; } public void setName(String name) { this.name = name; } public HeroNode getLeft() { return left; } public void setLeft(HeroNode left) { this.left = left; } public HeroNode getRight() { return right; } public void setRight(HeroNode right) { this.right = right; } @Override public String toString() { return "HeroNode{" + "no=" + no + ", name='" + name + '\'' + '}'; } //删除二叉树的结点 public void deleteNode(int no) { //如果当前结点的左子结点就是要删除的结点,将其置为null,然后结束; if (this.left != null && this.left.no == no) { this.left = null; return; } //如果当前结点的右子结点就是要删除的结点,将其置为null,然后结束; if (this.right != null && this.right.no == no) { this.right = null; return; } //向左遍历子树进行递归删除 if (this.left != null) { this.left.deleteNode(no); } //向右遍历子树进行递归删除 if (this.right != null) { this.right.deleteNode(no); } } //前序遍历 public void preOrder() { //先取出当前结点(第一次是父/根结点) System.out.println(this); //递归向左子树进行前序遍历 if (this.left != null) { //对父/根结点的左子结点继续遍历 this.left.preOrder(); } //递归向右子树进行前序遍历 //此时this就是最后一层的最左边的子结点,它的右子结点也是null //然后回到上一轮递归,即最后一层的最左边的子结点的父结点,遍历右子结点,就这样一层一层往上输出右子结点 //当回到第一次递归的时候,this就是根结点,此时它的左侧子结点全部遍历完成,然后按照相同方式继续遍历右侧的子结点 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.preOrder(); } } //中序遍历 public void infixOrder() { //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对当前结点(第一次是父/根结点)的左子结点继续遍历 this.left.infixOrder(); } //输出当前结点,即最底层左子树的左子结点 //当回到上一轮递归,这里的this就是最底层左子树的父结点 System.out.println(this); //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.infixOrder(); } } //后序遍历 public void postOrder() { //递归向左子树进行中序遍历 if (this.left != null) { //对的左子结点继续遍历 this.left.postOrder(); } //递归向右子树进行中序遍历 if (this.right != null) { //如果左子结点全部遍历完成,继续遍历右子树 this.right.postOrder(); } //输出当前结点,第一次输出的是最底层左子树的左子结点 //然后回到上一轮递归,此时这个this就是最底层左子树的右子结点 //然后再回到上一轮递归,此时这个this就是最底层左子树的父结点 //... System.out.println(this); } }

4.顺序存储二叉树

4.1.基本说明

1>.从数据存储来看,数组的存储方式和树的存储方式可以相互转换,即数组可以转换成树,而树也可以转换成数组;

从上往下,从左往右将每一层的元素存储到列表(/数组)中;

如图所示 2>.顺序存储二叉树的特点:

①.顺序二叉树通常只考虑完全二叉树;

②.第n个元素的左子结点(位置/下标)为:2 * n + 1;

③.第n个元素的右子结点(位置/下标)为:2 * n + 2;

④.第n个元素的父结点(位置/下标)为:(n-1) / 2;

⑤.n:表示二叉树中的某个元素的下标志,从0开始,跟数组保持一致;

–1).父结点p与左子结点cl的编号/索引下标的关系: cl=2*p+1 //同理:左子结点cl与父结点p的编号下标的关系: p=(cl-1)/2

–2).父结点p与右子结点cr的编号/索引下标: cr=2*p+2 //同理:左子结点cl与父结点p的编号下标的关系: p=(cl-2)/2

注意:顺序存储的二叉树,通常情况下只考虑完全二叉树,即中间的元素不能有空缺,因为列表是顺序/连续存储的!!

4.2.案例

1>.要求

①.二叉树的结点,要求以数组的方式来存放数组arr:[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];

②.要求在遍历数组arr时,仍然可以以前序遍历,中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历;

2>.代码实现

public class TestArrayBinaryTreeDemo { public static void main(String[] args) { //数据结点对应的数组 //可以将这些数据按照从上到下,从左到右组装成一颗二叉树 int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(arr); arrayBinaryTree.preOrder(); //1 2 4 5 3 6 7 } } class ArrayBinaryTree { //存储数据结点的数组 private int[] data; public ArrayBinaryTree(int[] data) { this.data = data; } /** * 为了方便调用,不用每次调用时传入一个根结点的索引0,所以对前序遍历的方法做一个重载 */ public void preOrder(){ //每次调用的时候传入一个根结点索引 this.preOrder(0); } /** * 顺序存储二叉树的前序遍历 * @param index 根结点在数组中的下标 */ public void preOrder(int index) { if (data == null || data.length == 0) { System.out.println("数组为空,不能进行二叉树的前序遍历!"); return; } //按照二叉树前序遍历方式输出数组中的元素 //注意: // 左子结点=2*父结点下标+1 // 右子结点=2*父结点下标+2 //根结点/父结点 System.out.print(data[index]+"\t"); //向左递归遍历 //前序遍历遍历左子树 int leftIndex = 2 * index + 1; if (leftIndex < data.length) { //只有当左子结点存在的时候才能进行遍历,即数组下标不能越界 preOrder(leftIndex); } //向右递归遍历 //前序遍历右子树 int rightIndex = 2 * index + 2; if (rightIndex < data.length) { //只有当右子结点存在的时候才能进行遍历,即数组下标不能越界 preOrder(rightIndex); } } } public ArrayBinaryTree(int[] data) { this.data = data; } /** * 为了方便调用,不用每次调用时传入一个根结点的索引0,所以对前序遍历的方法做一个重载 */ public void preOrder(){ //每次调用的时候传入一个根结点索引 this.preOrder(0); } /** * 顺序存储二叉树的前序遍历 * @param index 根结点在数组中的下标 */ public void preOrder(int index) { if (data == null || data.length == 0) { System.out.println("数组为空,不能进行二叉树的前序遍历!"); return; } //按照二叉树前序遍历方式输出数组中的元素 //注意: // 左子结点=2*父结点下标+1 // 右子结点=2*父结点下标+2 //根结点/父结点 System.out.print(data[index]+"\t"); //向左递归遍历 //前序遍历遍历左子树 int leftIndex = 2 * index + 1; if (leftIndex < data.length) { //只有当左子结点存在的时候才能进行遍历,即数组下标不能越界 preOrder(leftIndex); } //向右递归遍历 //前序遍历右子树 int rightIndex = 2 * index + 2; if (rightIndex < data.length) { //只有当右子结点存在的时候才能进行遍历,即数组下标不能越界 preOrder(rightIndex); } } }