1 ） 中国古代极限思想
庄子：‘截杖说’ : 一尺之棰,日取其半,万世不竭 每日杖棰所余长度组成的数列 1 2 , 1 4 , 1 8 , . . . , 1 2 n , . . . \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ..., \frac{1}{2^n}, ... 21,41,81,...,2n1,...该数列中的项随着n的增大，越来越接近0 刘徽：‘隔圆术’ ：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣 基本思想用内接正 6 ∗ 2 n − 1 6*2^{n-1} 6∗2n−1 边形的面积 A n A_n An来近似圆的面积随着n的无限增大，多边形面积 A n A_n An将无限接近圆的面积2 ） 无限接近1的案例
数列 n + ( − 1 ) n − 1 n \frac{n + (-1)^{n-1}}{n} nn+(−1)n−1 即： 2 , 1 2 , 4 3 , 3 4 , 6 5 , . . . , 1 + ( − 1 ) n − 1 n , . . . 2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},\frac{3}{4},\frac{6}{5}, ..., 1 + \frac{(-1)^{n-1}}{n}, ... 2,21,34,43,56,...,1+n(−1)n−1,... 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性 数学上用"距离"来刻画与1无限接近的这个现象 x n x_n xn与1的距离： ∣ x n − 1 ∣ = ∣ n + ( − 1 ) n + 1 n − 1 ∣ |x_n - 1| = |\frac{n+(-1)^{n+1}}{n} - 1| ∣xn−1∣=∣nn+(−1)n+1−1∣ = 1 n \frac{1}{n} n1可见，n越大， ∣ x n − 1 ∣ |x_n - 1| ∣xn−1∣就越小，即 x n x_n xn与1就越接近给定0.01，欲使 1 n < 0.01 \frac{1}{n} < 0.01 n1<0.01 即 n > 100, 即从第100项往后， x n x_n xn与1间的距离就可以小于0.01了给定0.0012，欲使 1 n < 0.0012 \frac{1}{n} < 0.0012 n1<0.0012 即 n > 10000 12 = 833 1 3 n > \frac{10000}{12} = 833 \frac{1}{3} n>1210000=83331, 即从第833项往后， x n x_n xn与1间的距离就可以小于0.0012了给定 1 0 − 9 10^{-9} 10−9，欲使 1 n < 1 0 − 9 \frac{1}{n} < 10^{-9} n1<10−9, 即 n > 1 0 9 n > 10^9 n>109 即从第 1 0 9 10^9 109项往后的所有项与1之间的距离小于 1 0 − 9 10^{-9} 10−9推理
无论有一个多么小的正数 ε \varepsilon ε, 总可以找到一个正整数N, 当 n > N n > N n>N时， ∣ x n − 1 ∣ < ε |x_n - 1| < \varepsilon ∣xn−1∣<ε
数列极限的定义
设 { x n } \{x_n\} {xn}为一个数列. 若有常数a, 对任意给定的正数 ε \varepsilon ε(无论它有多小), 总存在正整数N, 使当 n > N时，不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a| < \varepsilon ∣xn−a∣<ε 恒成立，则称a是数列 { x n } \{x_n\} {xn}的极限或称 { x n } \{x_n\} {xn}收敛于a, 记为: lim x → ∞ x n = a \lim_{x \to \infty} x_n = a limx→∞xn=a 或 x n → a ( n → ∞ ) x_n \rightarrow a \ \ \ (n \rightarrow \infty) xn→a (n→∞), 若这样的a不存在，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn}无极限或 x n {x_n} xn发散或不存在
极限的 ε − N \varepsilon - N ε−N语言
(1) lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a(2) ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0 ∃ \exists ∃ 正整数 N, 当n > N时, ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a| < \varepsilon ∣xn−a∣<ε说明：(1)、(2)两者等价，互为充要条件， ε \varepsilon ε是任意的，这样才能表示无限接近，N是相应于 ε \varepsilon ε的，只要N存在，而不必找其最小值用定义证明数列极限的证明思路
欲证 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a 关键找N分析过程 从最后的结论不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a| < \varepsilon ∣xn−a∣<ε出发解出n应大于怎样的数，对此数取整得N解不出n，必须对结论不等式进行适当的放大，使放大后的不等式能解出n 证明过程 取定上述N, 将分析过程逆推例证1
已知 x n = n + ( − 1 ) n n x_n = \frac{n + (-1)^n}{n} xn=nn+(−1)n, 证明数列 { x n } 的 极 限 为 1 \{x_n\}的极限为1 {xn}的极限为1证明： ∣ x n − 1 ∣ = ∣ n + ( − 1 ) n n ∣ − 1 = 1 n |x_n - 1| = |\frac{n+(-1)^n}{n}| - 1 = \frac{1}{n} ∣xn−1∣=∣nn+(−1)n∣−1=n1 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, 欲使 ∣ x n − 1 ∣ < ε |x_n - 1| < \varepsilon ∣xn−1∣<ε, 即 1 n < ε \frac{1}{n} < \varepsilon n1<ε, 只要 n > 1 ε n > \frac{1}{\varepsilon} n>ε1因此，取 N = [ 1 ε ] N = [\frac{1}{\varepsilon}] N=[ε1], 则当 n > N n > N n>N时，就有 ∣ n + ( − 1 ) n n − 1 ∣ < ε |\frac{n + (-1)^n}{n} - 1| < \varepsilon ∣nn+(−1)n−1∣<ε故： lim n → ∞ x n = l i m n → ∞ n + ( − 1 ) n n = 1 \lim_{n \to \infty} x_n = lim_{n \to \infty} \frac{n + (-1)^n}{n} = 1 limn→∞xn=limn→∞nn+(−1)n=1例证2
证明 lim n → ∞ c o s n π 2 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{cos \frac{n \pi}{2}}{n} = 0 limn→∞ncos2nπ=0分析： ∣ x n − 0 ∣ = ∣ c o s n π 2 n ∣ |x_n - 0| = |\frac{cos \frac{n \pi}{2}}{n}| ∣xn−0∣=∣ncos2nπ∣, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, 为使 ∣ x n − 0 ∣ < ε |x_n - 0| < \varepsilon ∣xn−0∣<ε只需要 ∣ c o s n π 2 ∣ n < ε \frac{|cos \frac{n \pi}{2}|}{n} < \varepsilon n∣cos2nπ∣<ε, n无法解出注意到 ∣ c o s n π 2 ∣ n ≤ 1 n \frac{|cos \frac{n \pi}{2}|}{n} \leq \frac{1}{n} n∣cos2nπ∣≤n1, 故只需要 1 n < ε \frac{1}{n} < \varepsilon n1<ε, 即 n > 1 ε n > \frac{1}{\varepsilon} n>ε1 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, 取 N = [ 1 ε ] N = [\frac{1}{\varepsilon}] N=[ε1], 则当 n > N n > N n>N时，就有 ∣ x n − 0 ∣ = ∣ c o s n π 2 ∣ n ≤ 1 n < ε |x_n - 0| = \frac{|cos \frac{n \pi}{2}|}{n} \leq \frac{1}{n} < \varepsilon ∣xn−0∣=n∣cos2nπ∣≤n1<ε 恒成立从而 lim n → ∞ c o s n π 2 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{cos \frac{n \pi}{2}}{n} = 0 limn→∞ncos2nπ=0例证3
证明 lim n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0 limn→∞(n+1)2(−1)n=0分析 ∣ x n − 0 ∣ = 1 ( n + 1 ) 2 |x_n - 0| = \frac{1}{(n+1)^2} ∣xn−0∣=(n+1)21, ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0, 为使 ∣ x n − 0 ∣ < ε |x_n - 0| < \varepsilon ∣xn−0∣<ε只需要 1 ( n + 1 ) 2 < ε \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon (n+1)21<ε, 即 ( n + 1 ) 2 > 1 ε (n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon} (n+1)2>ε1, 即 n > 1 ε − 1 n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1 n>ε 1−1 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0 ∀ε>0 (不妨设 ε < 1 \varepsilon < 1 ε<1), 取 N = [ 1 ε − 1 ] N = [\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1] N=[ε 1−1]则当 n > N时，就有 ∣ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 − 0 ∣ < ε |\frac{(-1)^n}{(n+1)^2} - 0| < \varepsilon ∣(n+1)2(−1)n−0∣<ε, 即 lim n → ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = 0 limn→∞(n+1)2(−1)n=0 另证(另一种证明方法) ∣ x n − 0 ∣ = 1 ( n + 1 ) 2 < 1 n + 1 < 1 n |x_n - 0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} ∣xn−0∣=(n+1)21<n+11<n1，为使 ∣ x n − 0 ∣ < ε |x_n - 0| < \varepsilon ∣xn−0∣<ε只需要 n > 1 ε n > \frac{1}{\varepsilon} n>ε1, 即 n > 1 ε n > \frac{1}{\varepsilon} n>ε1从而取 N = [ 1 ε ] N = [\frac{1}{\varepsilon}] N=[ε1] 即可.定理1：若数列 { x n } \{x_n\} {xn}收敛，则它的极限唯一
证明：使用反证法, 设 x n → a , x n → b x_n \to a, x_n \to b xn→a,xn→b 且 a < b a < b a<b, 取 ε = b − a w \varepsilon = \frac{b - a}{w} ε=wb−a由极限定义知，对此 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0, ∃ \exists ∃ 正整数 N 1 N_1 N1, 当 n > N 1 N_1 N1时， ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a| < \varepsilon ∣xn−a∣<ε, 即有 x n < a + b 2 x_n < \frac{a + b}{2} xn<2a+b ∃ \exists ∃ 正整数 N 2 N_2 N2, 当 n > N 2 N_2 N2时， ∣ x n − b ∣ < ε |x_n - b| < \varepsilon ∣xn−b∣<ε, 即有 x n < a + b 2 x_n < \frac{a + b}{2} xn<2a+b故取 N = m a x { N 1 , N 2 } N = max\{N_1, N_2\} N=max{N1,N2}, 当n > N时，有 x n < a + b 2 x_n < \frac{a+b}{2} xn<2a+b 且 x n > a + b 2 x_n > \frac{a+b}{2} xn>2a+b 矛盾! 从而假设不成立于是由a,b的大小任意性可推知 a = b. 即：极限唯一定理2：若数列 { x n } \{x_n\} {xn}收敛，则数列 { x n } \{x_n\} {xn}一定有界
证明：设 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a 取 ε = 1 \varepsilon = 1 ε=1 则 ∃ \exists ∃ 正整数 N当 n > N时，有 ∣ x n − a ∣ < 1 |x_n - a| < 1 ∣xn−a∣<1, 从而有： ∣ x n ∣ = ∣ ( x n − a ) + a ∣ ≤ ∣ x n − a ∣ + ∣ a ∣ < 1 + ∣ a ∣ |x_n| = |(x_n - a) + a| \leq |x_n - a| + |a| < 1 + |a| ∣xn∣=∣(xn−a)+a∣≤∣xn−a∣+∣a∣<1+∣a∣再取 M = m a x { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , . . . , ∣ x N ∣ , 1 + ∣ a ∣ } M = max\{|x_1|,|x_2|,...,|x_N|,1 + |a|\} M=max{∣x1∣,∣x2∣,...,∣xN∣,1+∣a∣}则有 ∣ x n ∣ ≤ M ( n = 1 , 2 , . . . ) |x_n| \leq M (n = 1,2,...) ∣xn∣≤M(n=1,2,...). 故数列 { x n } \{x_n\} {xn}有界注：数列收敛不等价于数列有界，如 ( − 1 ) n + 1 (-1)^{n+1} (−1)n+1有界但不收敛定理3：(收敛数列的保号性)
若 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a 且 a > 0 a > 0 a>0 (< 0), 则 ∃ \exists ∃ 正整数 N, 当 n > N时，有 x n > 0 x_n > 0 xn>0 (< 0)证：只证明 a > 0的情况取 ε = a 2 \varepsilon = \frac{a}{2} ε=2a, 则由极限定义知： ∃ \exists ∃ 正整数 N当 n > N时，有 ∣ x n − a ∣ < a 2 |x_n - a| < \frac{a}{2} ∣xn−a∣<2a, 即 a 2 < x n < 3 a 2 \frac{a}{2} < x_n < \frac{3a}{2} 2a<xn<23a因 a > 0, 故 x n > 0 x_n > 0 xn>0推论：若 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a 且 ∀ \forall ∀ 正整数 N, 当 n > N时， x n ≥ 0 ( ≤ 0 ) x_n \geq 0 \ \ \ (\leq 0) xn≥0 (≤0), 则 a ≥ 0 ( ≤ 0 ) a \geq 0 \ \ \ (\leq 0) a≥0 (≤0)
一、夹逼准则
(1) y n ≤ x n ≤ z n ( n = 1 , 2 , . . . ) y_n \leq x_n \leq z_n \ \ (n = 1,2,...) yn≤xn≤zn (n=1,2,...)(2) l i m n → ∞ y n = l i m n → ∞ z n = a lim_{n \to \infty} y_n = lim_{n \to \infty} z_n = a limn→∞yn=limn→∞zn=a由(1)、(2)推出 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a证明
由条件(2), ∀ ε > 0 , ∃ N 1 , N 2 \forall \varepsilon > 0, \exists N_1, N_2 ∀ε>0,∃N1,N2当 n > N 1 n > N_1 n>N1时， ∣ y n − a ∣ < ε |y_n - a| < \varepsilon ∣yn−a∣<ε当 n > N 2 n > N_2 n>N2时， ∣ z n − a ∣ < ε |z_n - a| < \varepsilon ∣zn−a∣<ε令 N = m a x { N 1 , N 2 } N = max\{N_1, N_2\} N=max{N1,N2}, 则当 n > N时，有 a − ε < y n < a + ε , a − ε < z n < a + ε a - \varepsilon < y_n < a + \varepsilon, a - \varepsilon < z_n < a + \varepsilon a−ε<yn<a+ε,a−ε<zn<a+ε由条件(1) a − ε < y n ≤ x n ≤ z n < a + ε a - \varepsilon < y_n \leq x_n \leq z_n < a + \varepsilon a−ε<yn≤xn≤zn<a+ε即： ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a| < \varepsilon ∣xn−a∣<ε, 故 lim n → ∞ x n = a \lim_{n \to \infty} x_n = a limn→∞xn=a二、单调有界数列必有极限准则
由 x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ . . . ≤ M x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n \leq x_{n+1} \leq ... \leq M x1≤x2≤...≤xn≤xn+1≤...≤M 推 lim n → ∞ x n = a ( ≤ M ) \lim_{n \to \infty} x_n = a (\leq M) limn→∞xn=a(≤M) 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性 由 x 1 ≥ x 2 ≥ . . . ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ . . . ≥ m x_1 \geq x_2 \geq ... \geq x_n \geq x_{n+1} \geq ... \geq m x1≥x2≥...≥xn≥xn+1≥...≥m 推 lim n → ∞ x n = b ( ≥ m ) \lim_{n \to \infty} x_n = b (\geq m) limn→∞xn=b(≥m) 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性