1.z=f( x 2 x^2 x2- y 2 y^2 y2,cos xy),f具有一阶连续偏导数，x=rcos θ,y=rsin θ,求 d z d r \frac{dz}{dr} drdz, d z d θ \frac{dz}{dθ} dθdz
一阶偏导数其实就是看链式求导法则 令u= x 2 x^2 x2- y 2 y^2 y2,v=cos xy d z d r \frac{dz}{dr} drdz的值为下面四项相加 z->u->x->r z->u->y->r z->v->x->r z->v->y->r d z d θ \frac{dz}{dθ} dθdz的值为下面四项相加 z->u->x->θ z->u->y->θ z->v->x->θ z->v->y->θ 这里我们可以用 f’1来替代f’u 这样一来就比较好计算了 d z d r \frac{dz}{dr} drdz= d z d u \frac{dz}{du} dudz d u d x \frac{du}{dx} dxdu d x d r \frac{dx}{dr} drdx+ d z d u \frac{dz}{du} dudz d u d y \frac{du}{dy} dydu d y d r \frac{dy}{dr} drdy+ d z d v \frac{dz}{dv} dvdz d v d x \frac{dv}{dx} dxdv d x d r \frac{dx}{dr} drdx+ d z d v \frac{dz}{dv} dvdz d v d x \frac{dv}{dx} dxdv d x d r \frac{dx}{dr} drdx d z d θ \frac{dz}{dθ} dθdz= d z d u \frac{dz}{du} dudz d u d x \frac{du}{dx} dxdu d x d θ \frac{dx}{dθ} dθdx+ d z d u \frac{dz}{du} dudz d u d y \frac{du}{dy} dydu d y d θ \frac{dy}{dθ} dθdy+ d z d v \frac{dz}{dv} dvdz d v d x \frac{dv}{dx} dxdv d x d r \frac{dx}{dr} drdx+ d z d v \frac{dz}{dv} dvdz d v d x \frac{dv}{dx} dxdv d x d θ \frac{dx}{dθ} dθdx
答案 d z d r \frac{dz}{dr} drdz=2 d z d u \frac{dz}{du} dudz(xcosθ-ysinθ)- d z d v \frac{dz}{dv} dvdzsinxy(ycosθ+xsinθ） d z d θ \frac{dz}{dθ} dθdz=-2r d z d u \frac{dz}{du} dudz(xsinθ+ycosθ)+r d z d v \frac{dz}{dv} dvdzsinxy(ysinθ-xcosθ） 或者是 d z d r \frac{dz}{dr} drdz=2rf’1(xcosθ–ysinθ)-f’2sinxy(ycosθ+xsinθ） d z d θ \frac{dz}{dθ} dθdz=-2rf’1(xsinθ+ycosθ)+rf’2sinxy(ysinθ-xcosθ）
注意：当求二阶导数时，注意求导顺序，一般情况下 d 2 z d x d y \frac{d^2z}{dxdy} dxdyd2z= d 2 z d y d x \frac{d^2z}{dydx} dydxd2z,当然求导第二次也是遵循链式求导法则还有就是(xyz)’=x’yz+xy’z+xyz’,f中继续求导，也就是二阶导数时，下标和上标同时改变f’1->第二位置求导->f’12
