dsp复习

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dsp复习连续时间信号的采样周期采样采样的频域表示由样本重构带限信号连续时间信号的离散时间处理脉冲响应不变离散时间信号的连续时间处理降采样升采样采样率按非整数因子变换 线性时不变系统的变换分析LTI系统的频率响应理想选频滤波器群延迟 线性常系数差分方程表征的系统函数逆系统IIR和FIR 幅度与相位之间的关系全通系统 最小相位系统最小相位和全通分解频率响应的补偿最小相位系统的性质 广义线性相位的线性系统线性相位系统广义线性相位因果广义线性相位系统 离散时间系统结构方框图表示IIRFIR 滤波器设计方法脉冲响应不变法双线性变换法窗函数法 离散傅里叶变换离散傅里叶级数离散傅里叶级数的性质周期信号有限长序列的离散傅里叶变换离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换实现线性卷积DFT实现LTI系统 离散傅里叶变换的计算（FFT）按时间抽取的FFT算法按频率抽取的FFT算法 利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析

连续时间信号的采样

周期采样

$x[n]=x_c(nT)$

采样的频域表示

$X_s(j\Omega )=\frac{1}{T_s}{\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{X}_c(j\Omega -kj{\Omega }_s)$ 不发生混叠的条件：${\Omega }_s>2{\Omega }_N$ 采样信号的恢复：一个增益为T的理想滤波器，且满足${\Omega }_N<{\Omega }_c<{\Omega }_s-{\Omega }_N$ 奈奎斯特率：$2{\Omega }_N$ 离散频率与连续频率的映射关系:$\omega =\Omega T$

由样本重构带限信号

假定${\Omega }_c=\frac{{\Omega }_s}{2}=\frac{\pi }{T}$ 重构滤波器：$h_r(t)=\frac{sin\frac{\pi t}{T}}{\frac{\pi t}{T}}$ 重构信号在各采样时刻点与原连续信号有着相同的值

连续时间信号的离散时间处理

$H_{eff}(j\Omega )=H(e^{j\Omega T})$ $|\Omega |<\frac{\pi }{T}$

脉冲响应不变

$h[n]=T{h}_c(nT)$ $H(e^{j\omega })=TH(\frac{j\omega }{T})$ $|\omega |\le \pi$

离散时间信号的连续时间处理

实际使用较少，一般用在非整数延迟 $H(e^{j\omega })=H_c(j\frac{\omega }{T})$ $|\omega |\le \pi$

降采样

M倍降采样：$X_d(e^{j\omega })=\frac{1}{M}{\sum }_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\frac{\omega -2\pi i}{M})})$ 需满足${\omega }_{N}M<\pi$,否则就会混叠 需要在降采样操作前加一个离散时间滤波器

升采样

$X_e(e^{j\omega })=X(e^{j\omega L})$ 升采样会产生镜像 镜像滤波器：增益为L，截止频率$\frac{\pi }{L}$

采样率按非整数因子变换

线性时不变系统的变换分析

LTI系统的频率响应

$Y(e^{j\omega })=H(e^{j\omega })X(e^{j\omega })$ 幅度和相位满足： $|Y(e^{j\omega })|=|H(e^{j\omega })||X(e^{j\omega })|$ $argY(e^{j\omega })=argH(e^{j\omega })+argX(e^{j\omega })$

理想选频滤波器

LPF:$h[n]=\frac{sin{\omega }_{c}n}{\pi n}$ HPF:$h[n]=\delta [n]-\frac{sin{\omega }_{c}n}{\pi n}$

群延迟

$\tau (w)=-\frac{d}{d\omega }grd[H(e^{j\omega })]$

线性常系数差分方程表征的系统函数

稳定性：收敛域包括单位圆 因果性：右边序列

逆系统

$H_i(z)=\frac{1}{H(z)}$ 逆系统的收敛域必须与原系统有公共部分

如果要求因果稳定系统的逆系统也因果稳定，则所有的零点和极点都必须在单位圆内（最小相位系统）

IIR和FIR

IIR系统：H(z)至少有一个非零极点 FIR系统：没有0和无穷以外的极点

幅度与相位之间的关系

$|H(e^{j\omega }){|}^2=H(e^{j\omega })H^{\ast }(e^{j\omega })=H(z)H^{\ast }(\frac{1}{z^{\ast }})$

全通系统

零点和极点互为共轭倒数 $H(z)=\frac{z^{-1}-a^{\ast }}{1-a{z}^{-1}}$ 一般系统可分解为最小相位系统和全通系统的级联，由于全通系统的群延迟大于等于0，因此最小相位系统的群延迟也最小。

最小相位系统

最小相位和全通分解

假设零点$z=\frac{1}{c^{\ast }}$在单位圆外 $H(z)=H_1(z)(1-c{z}^{-1})\frac{z^{-1}-c^{\ast }}{1-c{z}^{-1}}$

频率响应的补偿

$H_d(z)=H_{dmin}(z)H_{ap}(z)$ 补偿系统函数$H_c(z)=\frac{1}{H_{dmin}(z)}$

最小相位系统的性质

最小相位滞后，最小群延迟，最小能量延迟

广义线性相位的线性系统

线性相位系统

即理想群延迟 $H_{id}(e^{j\omega })=e^{-j\omega \alpha }$ $|\omega |<\pi$ $\alpha$是实数但不一定是整数

广义线性相位

$H(e^{j\omega })=A(e^{j\omega })e^{-j\alpha \omega +j\beta }$ 序列必须对称

因果广义线性相位系统

第I类：M为偶数，偶对称 第II类：M为奇数，偶对称（-1） 第III类：M为偶数，奇对称（-1，1） 第IV类：M为奇数，奇对称（1）

离散时间系统结构

方框图表示

三种基本运算：相加，相乘

IIR

直接I型 直接II型：延迟单元合并 级联型 并联型

FIR

直接型 并联型 线性相位

滤波器设计方法

脉冲响应不变法

$h[n]=T_d{h}_c(n{T}_d)$ $H(e^{j\omega })=H_c(j\frac{\omega }{T_d})$ $|\omega |\le \pi$ $\omega =\Omega T_d$ 连续域的极点$s_k$映射到离散域为$e^{s_{k}T}$ 能保证线性关系，但可能会混叠，不能用于设计高通滤波器等

双线性变换法

$s=\frac{2}{T_d}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ $\Omega =\frac{2}{T_d}\tan \frac{\omega }{2}$ 避免了混叠，但是会产生畸变

窗函数法

本质：利用时域乘积，频域卷积的性质 先由最大误差确定窗的种类，再根据主瓣宽度确定窗长

矩形窗可以得到最小的均方逼近

离散傅里叶变换

离散傅里叶级数

$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$=${\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$ $x[n]=\frac{1}{N}{\sum }_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$

离散傅里叶级数的性质

线性 $x[n-m]:W_N^{km}X[k]$ $W_N^{-nl}x[n]:X[k-l]$ 对偶性 $X[n]:Nx[-k]$ 周期卷积 ${\sum }_{m=0}^{N-1}{x}_1[m]x_2[n-m]:X_1[k]X_2[k]$ $x_1[n]x_2[n]:\frac{1}{N}{\sum }_{l=0}^{N-1}{X}_1[l]X_2[n-l]$ 共轭对称 $x^{\ast }[n]:X^{\ast }[k]$ 以及奇部和偶部的对称关系

周期信号

$X(e^{j\omega })={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }\frac{2\pi }{N}X[k]\delta (\omega -\frac{2\pi k}{N})$

有限长序列的离散傅里叶变换

$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$=${\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$ $x[n]=\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$

离散傅里叶变换的性质

线性 循环移位 $x[((n-m){)}_N]:W_N^{mk}X[k]$ 对偶性 $X[n]:x[((-k){)}_N]$ 对称性 $x^{\ast }[n]:X^{\ast }[((-k){)}_N]$ 循环卷积 ${\sum }_{m=0}^{N-1}{x}_1[m]x_2[((n-m){)}_N]:X_1[k]X_2[k]$ $x_1[n]x_2[n]:\frac{1}{N}{\sum }_{l=0}^{N-1}{X}_1[l]X_2[((k-l){)}_N]$

离散傅里叶变换实现线性卷积

DFT点数大于线性卷积序列长度

DFT实现LTI系统

假定脉冲响应$h[n]$长度为P，$x[n]$的长度远大于P，可以分成长度为L的小段， 重叠相加： 直接将每一段$x_k[n]$补零到L+P-1

重叠保留：每段向前补P-1个点，输入L-P+1个新点

离散傅里叶变换的计算（FFT）

复数乘法：$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$ 复数加法： $Nlo{g}_{2}N$ 蝶形数目：$\frac{N}{2}$ 级数：$lo{g}_{2}N$

按时间抽取的FFT算法

推导过程 $X[k]={\sum }_{n为偶数}x[n]W_N^{kn}+{\sum }_{n为奇数}x[n]W_N^{kn}$ $={\sum }_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r]W_N^{2rk}+W_N^k{\sum }_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r+1]W_N^{2rk}$ $=G[k]+W_N^{k}H[k]$ 可以分解为两个新的$\frac{N}{2}$点序列 蝶形图： 倒序输入，顺序输出（标准情形下，实际可能有变化）

按频率抽取的FFT算法

$X[2r]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}$ $={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x[n]W_N^{2rn}+{\sum }_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}$ $={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x[n]+x[n+\frac{N}{2}])W_{\frac{N}{2}}^{rn}$ 同理可得 $X[2r+1]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}{W}_N^n$ $={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x[n]-x[n+\frac{N}{2}])W_{\frac{N}{2}}^{rn}{W}_N^n$ 蝶形图： 恰好为DIT-FFT的转置

顺序输入，倒序输出

利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析

${\Omega }_k=\frac{2\pi k}{NT}$