AI笔记: 数学基础之函数的极限及自然常数e的由来

函数的极限

1 ）概述

自变量趋于有限值$x_0$时函数的极限 $x\to x_0$$x\to x_0^{+}$$x\to x_0^{-}$ 自变量趋于无穷大时函数的极限 $x\to \infty$$x\to +\infty$$x\to -\infty$ 以上是函数f(x)自变量变化过程的六种形式

2 ) 自变量 $x\to x_0$ 时函数的极限

如何刻画 $x\to x_0$ $0<|x-x_0|<\delta$即$x_0$的去心$\delta$邻域，$\delta$是个较小的正数 如何刻画对应函数值的变化 要有对应函数值，就要先使函数在$x_0$的去心$\delta$邻域内有定义而函数在$x_0$有无定义则无要求 如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数A $\forall \epsilon >0,|f(x)-A|<\epsilon ,x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$

3 ) 自变量 $x\to x_0$ 时函数的极限定义

设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对任意给定的正数$\epsilon$(无论它有多小)，总存在正数$\delta$, 使得当x满足$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值都有|$f(x)-A|<\epsilon$, 则称A为函数f(x)当$x\to x_0$时的极限，记为：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_0)$$\epsilon -\delta$ 语言描述 (1)、$li{m}_{x\to x_0}f(x)=A$(2)、$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\epsilon$(1) $\iff$ (2) 几何解释 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

例证

证明：${\lim }_{x\to 1}\frac{2(x^2-1)}{x-1}=4$

分析：

$|f(x)-A|=|\frac{2(x^2-1)}{x-1}-4|=|2(x+1)-4|=2|x-1|<\epsilon$$\forall \epsilon >0$, 取 $\epsilon =\frac{\epsilon }{2}$当 $0<|x-1|<\delta$ 时，必有 $|\frac{2(x^2-1)}{x-1}-4|<\epsilon$因此 ${\lim }_{x\to 1}\frac{2(x^2-1)}{x-1}=4$

左极限与右极限(单侧极限)

左极限 (1) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A=:f(x_0^{-})$(2) $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, 当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$|f(x)-A|<\epsilon$(1) $\iff$ (2) 右极限 (1) ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A=:f(x_0^{+})$(2) $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, 当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$|f(x)-A|<\epsilon$(1) $\iff$ (2) 可见 (1) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$(2) ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=A$(1) $\iff$ (2)

例证

试证函数$f(x)=\{\begin{array}{l}{e}^x,x<1\\ 0,x=1\\ x+1,x>1\end{array}$, 当 $x\to 1$时, 极限不存在 从下图可见${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}{e}^x=e}$${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}(x+1)=2}$显然 $e\ne 2$, 从而 ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$故函数f(x)当 $x\to 1$ 时极限不存在 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

4 ) 自变量 $x\to \infty$ 时函数的极限

如何刻画$x\to \infty$? $|x|>X$, 其中X是个较大的数 如何刻画对应函数值f(x)的变化? 要有对应函数值，首先要使函数在$|x|>X$内有定义 如何刻画对应的函数值f(x)无限接近于某个常数A? $\forall \epsilon >0$, 当 $|x|>X$时，$|f(x)-A|<\epsilon$

5 ) 自变量 $x\to \infty$ 时函数的极限定义

设函数f(x)在当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数$\epsilon$(无论它有多小)，总存在正数X,使得当x满足$|x|>X$时，对应的函数值都有$|f(x)-A|<\epsilon$, 则称A为函数f(x)当$x\to \infty$时的极限记为：${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to \infty )$左极限与右极限 (单侧极限) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A\iff \exists \epsilon >0,\exists X>0$, 当 $x<-X$时，$|f(x)-A|<\epsilon$${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A\iff \exists \epsilon >0,\exists X>0$, 当 $x>X$时，$|f(x)-A|<\epsilon$ $\epsilon \to \infty$ 语言描述 (1) ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$(2) $\forall \epsilon >0$, 当 $\exists X>0$, 当 $|x|>X$时，$|f(x)-A|<\epsilon$(1) $\iff$ (2) 几何解释 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

例证

证明： ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$分析： 欲使$|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}<\epsilon$ 即：$|x|>\frac{1}{\epsilon }$$\forall \epsilon >0$, 取 $X=\frac{1}{\epsilon }$, 则当 $|x|>X$ 时，就有 $|\frac{1}{x}-0|<\epsilon$因此 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$由下图可见， y=0 为 $y=\frac{1}{x}$的水平渐近线 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

函数极限的性质

定理1 函数极限唯一性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则此极限唯一

定理2 函数极限的局部有界性

若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$, 则存在常数 $M>0$ 和 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$证明 因 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$, 则 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\epsilon$.特别地取 $\epsilon =1$, 则 $|f(x)|=|f(x)-A+A|\le 1+|A|$取 $M=1+|A|$ 即可

定理3 函数极限的局部保号性

如果${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$, 而且 A > 0 (A < 0), 那么存在常数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有 $f(x)>0(f(x)<0)$证明： 只证 A < 0 的情况因为 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A<0$取 $\epsilon =-\frac{A}{2}$, 则 $\exists \delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $|f(x)-A|<-\frac{A}{2}$, 即 $f(x)<A-\frac{A}{2}$从而 $f(x)<\frac{A}{2}<0$

两个重要极限

1 ） 第一个重要极限

备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性 证明： 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$△AOB$的面积 < 圆扇形AOB的面积 < $△AOD$的面积即 $\frac{1}{2}\ast 1\ast 1\ast sinx<\frac{x}{2\pi }\ast \pi \ast 1^2<\frac{1}{2}\ast 1\ast tanx$即 $sinx<x<tanx(0<x<\frac{\pi }{2})$, 从而 $1<\frac{x}{sinx}<\frac{1}{cosx}$显然有 $cosx<\frac{sinx}{x}<1(0<|x|<\frac{\pi }{2})$又 ${\lim }_{x\to 0}cosx=1$, 故 ${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$

1 ） 第二个重要极限

${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

e = 2.718281828459045…

证明思路：

1.首先证明数列$\{x_n\}$是单调有界数列，从而极限存在，其中 $x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$2.其次利用两边夹准则证明 ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$3.再用变量代换法证明 ${\lim }_{x\to -\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$4.联合上面两个结论可得：${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

证明：

先证数列$\{x_n\}$收敛，其中$x=(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 第一步，证明数列$\{x_n\}$是单调增加的 $x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n=C_n^0(\frac{1}{n}{)}^0+C_n^1(\frac{1}{n}{)}^1+C_n^2(\frac{1}{n}{)}^2+...+C_n^n(\frac{1}{n}{)}^n$$=1+\frac{n}{1!}\ast \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\ast \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-1)}{3!}\ast \frac{1}{n^3}+...+\frac{n(n-1)(n-2)\ast ...\ast 2\ast 1}{n!}\ast \frac{1}{n^n}$$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\ast ...\ast (1-\frac{n-1}{n})$同理，$x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\ast ...\ast (1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\ast ...\ast (1-\frac{n}{n+1})$可见, $x_{n+1}>x_n,\forall n\in N^{+}$ 第二步，证明数列$\{x_n\}$是有界的 $x_n=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\ast ...\ast (1-\frac{n-1}{n})$从而，$x_n<1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}$$<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$$=1+\frac{1\ast (1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}$$=1+2(1-(\frac{1}{2}{)}^n)<3$其中我们用了不等式 $2^{n-1}\le n!$ (数学归纳法)于是，由单调增加和有界性知数列$\{x_n\}$极限存在，记为 ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$上面暂且记为字母e，这里的e满足 $1<e<3$ 第三步，证明函数极限${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ 一方面，当x > 1时，设 $n\le x<n+1$则 $(1+\frac{1}{n+1}{)}^n<(1+\frac{1}{x}{)}^x<(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n+1}{)}^n={\lim }_{n\to \infty }\frac{(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=e$${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}={\lim }_{n\to \infty }[(1+\frac{1}{n}{)}^n(1+\frac{1}{n})]=e$$\Rightarrow {\lim }_{x\to +\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ (因$n\to +\infty$时， $x\to +\infty$)另一方面，当 $x\to -\infty$时，令$x=-(t+1)$, 则$t\to +\infty$, 从而有${\lim }_{x\to -\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x={\lim }_{t\to +\infty }(1-\frac{1}{t+1}{)}^{-(t+1)}$$={\lim }_{t\to +\infty }(\frac{t}{t+1}{)}^{-(t+1)}={\lim }_{t\to +\infty }(1+\frac{1}{t}{)}^{t+1}$$={\lim }_{t\to +\infty }[(1+\frac{1}{t}{)}^t(1+\frac{1}{t})]=e$故：${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ (因 ${\lim }_{x\to +\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x={\lim }_{x\to -\infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$)

自然常数e

假设某种类的单细胞生物每24小时分裂一次，在不考虑死亡与编译的情况下，那么很显然这群单细胞生物的总数量每天会增加一倍，也就是增长率为： $growth=(1+100\%)=2$ 假设这种细胞没过12小时，平均会产生一般的原数量的新细胞，而且新细胞在之后的12小时已经存在分裂了，那么增长率为： $growth=(1+\frac{100\%}{2}{)}^2=2.25$ 假设每过8小时分裂一次，那么增长率为： $growth=(1+\frac{100\%}{3}{)}^3=2.37037...$ 实际上，细胞的分裂是不间断的、连续的产生新细胞，而且每个新细胞都会立即和母体细胞一起进行分裂操作，那么一天24小时的分裂增长率为 $growth=(1+\frac{100\%}{n}{)}^n=2.71828...$ 因此，将改值称为e, 表示单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值，公式为 $e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$

两个很重要的极限

${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$以上两个极限的变式如下图，方框中的框可以是任意表达式 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

案例1

求${\lim }_{x\to 0}\frac{sin2x}{x}$分析： 由 ${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$推出：${\lim }_{x\to 0}\frac{sin2x}{2x}=1$ (①式)有题目变形：${\lim }_{x\to 0}\frac{2\ast sin2x}{2x}$ (②式)综合①、②推出：${\lim }_{2x\to 0}\frac{2\ast sin2x}{2x}=2\ast {\lim }_{2x\to 0}\frac{sin2x}{2x}=2\ast 1=2$还有另一种方式是化简 $sin2x=2\ast sinxcosx$ ，当$x\to 0,cosx\to 1$, 同解！

案例2

求${\lim }_{x\to 0}\frac{tanx}{x}$分析： 切割化弦：$tanx=\frac{sinx}{cosx}$${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{xcosx}$当 $x\to 0$ 时, $cosx\to 1$最终，同 ${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$结果为1

案例3

求${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{2x}{)}^x$分析： 当 $x\to \infty$ 时，$2x\to \infty$${\lim }_{2x\to \infty }((1+\frac{1}{2x}{)}^{2x}{)}^{\frac{1}{2}}$由${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$知最终结果为 $e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$

案例4

求${\lim }_{x\to \infty }(1-\frac{1}{x}{)}^x$分析： ${\lim }_{x\to \infty }((1+\frac{1}{-x}{)}^{-x}{)}^{-1}$当 $x\to \infty$ 时，$-x\to \infty$化简为：${\lim }_{-x\to \infty }((1+\frac{1}{-x}{)}^{-x}{)}^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}$