任意进制→十进制
已知K、r、n 按权展开相加法
十进制→任意进制
除基取余法：
乘基取整法：
进制之间的转换
分组转换： 2n进制之间的转换：二进制、四进制、八进制、十六进制
二进制一>四进制、八进制、十六进制n位一组，每组转换成对应进制的符号，位数不够补左边最高位0和右边最低位0
四进制、八进制、十六进制一>二进制 每位写成对应的二进制形式
BCD码 用途：可以实现二进制，十进制的快速转换（一一对应）
8421码，4位一组的二进制表示十进制对应的符号
01234567890000000100100011010001010110011110001001遇到8421码某组上的计算产生超过1001时，需进行加6（0110）进行结果修正
小数点位置约定在固定位置的数称为定点数 小数点位置约定为可浮动的数称为浮点数
定点数可分为无符号数和有符号数
无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。无符号数表示范围：n位的无符号数表示范围为：0~2n-1有符号数对应真值和机器数
真值和机器数
求补码：原符号位不变，数值部分按位取反，末尾+1 求反码：符号位不变，数值位按位取反
按位取反+1
[XT]补 =1 0110100 [XT]= -（1001011+1）= -1001100
连同符号位各位取反，末尾+1
[XT]补=1 0110100 [-XT]补= 0 1001100
浮点数阶码用移码表示，移码只用来表示定点整数 设E为阶码，阶码的移码表示位n位，[E]移=2n-1+E（2n-1为偏置常数）
r进制
右移n位：÷ rn 左移n位： × rn
机器数采用无符号数：逻辑移位 逻辑左移时，高位移丢，低位添0；逻辑右移时，低位移丢，高位添0
机器码采用有符号数：算术移位 算术移位：左移相当于乘以基数，右移相当于除以基数 符号位不参与移位
1，0110101 真值-53 左移1位（丢0）：1，110101 0 真值-106 右移1位（丢1）：1，0 011010 真值-26 假设不丢1：1，0011010.1 真值-26.5 再左移1位（丢1）：1，1010100 真值-84 假设不丢1：1，111010100 真值-212 再右移1位（丢0）：1，0001101 真值-13结论：原码算术移位：左移丢1，运算出错；右移丢1，影响精度。
正数：原码、补码、反码一样→左移、右移都补0 负数：反码1<——>原码0
补码的主要作用：两个有符号数可以直接相加
加减运算基本思路：
转换成x+y的形式计算[x]补+[y]补例题：设机器字长为8位（含1位符号位），A=15，B=-24，求[A+B]补和[A-B]补
走捷径：十进制运输完毕将结果转换为补码
也可以先转化为补码，再将补码进行符号扩展 [A+B]补=[A]补+[B]补=0，0001111+1，1101000=1，1110111
补码1，1110111，对应原码：1，0001001 真值就是-9，15+（-24）=-9
[A-B]补=[4]补+[-B]补=0，0001111+0，0011000=0，0100111
补码0，0100111对应真值+39,15-（-24）=+39
[-B]补：[B]补连同符号位一起取反加1
正溢出：两个正数做加法得负数 负溢出：两个负数做加法得正数
例：A=15，B=-34，C=124，求[A+C]补和[B-C]补
[A+C]补=0 0001111+0 1111100=1 10001011 真值-11→正溢出 [B-C]补=1 101000+0 000100=10 1101100 真值+108→负溢出
采用一位符号位设A的符号为As，B的符号为Bs，运算结果的符号为Ss，则溢出逻辑表达式为
V表示含义：[As为1且Bs为1且Ss为0] 或 [As为0且Bs为0且Ss为1]
若V=0，表示无溢出； 若V=1，表示有溢出。
补充逻辑表达式：
与：如ABC，表示A与B与C仅当A、B、C均为1时，ABC为1 A、B、C中有一个或多个为0，则ABC为0或：如A+B+C，表示A或B或C仅当A、B、C均为0时，A+B+C为0 A、B、C中有一个或多个为1，则A+B+C为1采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出
符号位的进位Cs最高数位的进位C1正溢出01负溢出10即：Cs与C1不同时有溢出
处理“不同”的逻辑符号：异或
溢出逻辑判断表达式为：
若V=0，表示无溢出； V=1，表示有溢出。
补充异或：
采用双符号位，配合补码 正数符号为00，负数符号为11
[A+C]补=00，0001111+00，1111100=01，0001011→正溢出 [B-C]补=11，1101000+11，0000100=10，1101100→负溢出
记两个符号位为Ss1Ss2，则
若V=0，表示无溢出； 若V=1，表示有溢出。
利用双符号位计算[A+B]补和[A-B]补
[A+B]补=00，0001111+11，1101000=11，1110111 [A-B]补=00，0001111+00，0011000=00，0100111
采用双符号位的移位运算：低位符号位参与移位，高位符号位代表真正的符号
11，1110111 右移1位： 11，1111011 //低位符号位参与右移，对于负数补码，符号位空出的部分补1 00，0100111 左移1位： 00，1001110 //左移一位，数值位最高位0移到符号位低位，数值位低位空出的部分则补0 00，0100111 左移2位： 01，0011100 正溢出任意一个二进制数X可以表示为： X=（-1）S× M × RE
S取值为0或1，用来决定X的符号 M是一个二进制定点小数，称为数X的尾数 E是一个二进制定点整数，称为X的阶码或指数 R是基数，可以取值为 2、4、16
阶码：常用补码或移码表示 尾数：常用原码或补码表示 阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。
例：阶码、尾数均用补码表示，求b的真值 如果尾数部分只存储1001，怎么处理？----→规格化
规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值。对于二进制来说最高位数1有效，对于其他进制，不是0则有效
左规：当浮点数运算的结果为 非规格化时 要进行规格化处理，将尾数左移一位，阶码减1（基数为2时）。 右规：当浮点数运算的结果尾数出现 溢出（双符号位为01或10） 时，将尾数右移一位，阶码加1（基数为2时）。
例：a=010；00.1001，b=010；00.1000，求a+b
a=22 × 00.1001； b=22 × 00.1000
a+b=22 × 00.1001+22 × 00.1000 =22 ×（00.1001+00.1000） =22 × 01.0100 →尾数溢出，右规 =23 × 00.1010
规格化浮点数的尾数M的绝对值应满足：1/r<|M|<1 如果r=2，则有1/2<M<1
原码规格化后： 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。 尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2-n）。负数为1.1××.…×的形式，其最大值表示为1.10…0；最小值表示为1.11…1。 尾数的表示范围为 -（1-2-n）≤M≤ -1/2。 补码规格化后： 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。 尾数的表示范围为 1/2≤M≤（1-2-n）。负数为1.0××.…×的形式，其最大值表示为1.01…1；最小值表示为1.00…0。 尾数的表示范围为 -1≤M≤ -（1/2+2-n）。尾数规格化，最高位肯定为1，若尾数原码xx...x，则尾数是1.xx...x
阶码部分用移码表示的，由移码得真值要减去偏置值
短浮点数：
长浮点数：
IEEE754 标准下短浮点数和长浮点数的真值：
IEEE 754 标准一些规定（短浮点数为例）：
E=0且M=0，则真值为0E=0且M≠0，为非规格化数，真值 =（-1）s×0.M×2-1261≤E≤254时，真值 =（-1)s×1.M×2E-127E=255且M≠0时（阶码全1，尾数不为0），真值为NaN（非数值）E=255且M=0时，真值为正无穷或负无穷（看符号位） IEEE 754浮点数表示范围浮点数加减运算步骤：
对阶一般在对阶之前就有必须要把真值转化为机器数的步骤（即用补码表示阶码和尾数）
尾数加减规格化舍入判溢出例：已知十进制数X=-5/256、Y=+59/1024，按机器补码浮点运算规则计算X-Y，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位
先进行格式转换：用补码表示阶码和尾数 将X的阶码转化为机器数：-101 补码：1 011，再变为双符号位（阶符取两位）： 11 011（11 代表负，00代表正），数值部分（阶码）3位不需要扩展将X的尾数转化为机器数：-0.101 补码：1.011 ，再变为双符号位（数符取两位）：11.011，尾数取9位则扩展到9位：11.011000000（小数低位添0，整数高位添0）转化完毕X，Y机器数表示：X:11 011,11.011000000 ；Y:11 100,00.111011000 转化完接下来就是对阶
对阶 对阶目的：使两个数的阶码相等，小阶向大阶看齐，尾数每右移一位，阶码加1①求阶差：[△E]补=[X阶]补+[-Y阶]补=11011+00100=11111，知△E=-1（被减的数转化为相反数的补码形式，即[Y]补→[-Y]补→连同符号位按位取反，末尾+1） ②对阶X 向Y看齐：X：11011，11.011000000→11100，11.101100000（X尾数右移1位，阶码+1） 尾数左移/右移：双符号位也要参与移位
接下来进行尾数加减，原理就是提取公因式
尾数加减 求 X-Y，先求-Y补码：阶码部分不变，尾数调整为相反数补码，即连同符号位按位取反，末尾+1 [-Y]补:11100,11.000101000 X-Y=11100,10.110001000 机器数操作不理解，可以把真值操作写在旁边对比：算出的结果符号位10，溢出了，需要右规
规格化 X-Y：11100,10.110001000→11101,11.011000100 对应真值运算： 规格化之后，观察阶码阶符是否还保持正常情况（00或11），则此次运算不溢出，若规格化后，双符号位表现出溢出模式（10或 01），此次运算一定溢出！在加减处溢出不一定是溢出，只有在规格化以后还是溢出，才是真正溢出！ 舍入 这里无舍入，因为尾数右移时候，末尾丢的是一个0，不影响整个数值运算 判溢出 此处正常阶码11，无溢出所以结果真值为2-3×（-0.1001111）2
例：两浮点数加减后结果为11100，10.110001011。此时肯定需要右规
采用0舍1入：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1（末尾1丢弃，需要+1） →11101，11.01000110 1（末尾+1后进位）
恒置1：11100，10.110001011→11101，11.011000101 1 →11101，11.011000101 1
char →int→long →double float →double 范围、精度从小到大，转换过程没有损失
32位 int：表示整数，范围-231-231-1，有效数字32位 float：表示整数及小数，范围 士[2-126~2-127×（2-2-23）]，有效数字23+1=24位
int→float：可能损失精度 float →int：可能溢出及损失精度
