动态规划(一)：以最简单的斐波拉契数列为例子初步认识动态规划

前言

你问我为什么要学习算法？我的回答是：多一个技能点就多一个机会。程序员越来越多，门槛也越来越高。学如逆水行舟，不进则退，咱们得保持一直持续学习的心态。算法和数据结构作为程序员的内功，能决定你以后职业生涯的高度！无论如何，咱们都得克服困难，攻克它！那为什么第一篇与算法有关的文章就是大家望而却步的动态规划呢？因为它很难，有必要总结下~那我们现在就开始斐波拉契数列之旅吧。

一、什么是斐波拉契数列

我相信在大家学习递归算法时，第一个接触的就是斐波拉契数列问题吧。我这里重温下，斐波拉契数列问题：

存在这么一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34； 其中f(0) = 0, f(1) = 1, 求f(n)

通过题目的描述，我们很容易发现特点：n >= 2时，当前元素等于前两个元素之和，即fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2); 其中n >= 2，于是我们可以快速解题。

二、常用解法 - 递归

大家都知道斐波拉契数列的解决方案很简单，使用递归，一行代码就能解决，如下：public static int fib(int n) { return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2); } 咱们做算法题，要考虑它的空间和时间复杂度(也许现在是互联网时代，在高并发项目下，大家好像更倾向的是时间复杂度的优化)。那咱们也来分析下它的时间复杂度吧。它的时间复杂度为：O($2^n$)，我以求fib(5)为例子画出了它的执行流程，如下所示： 实际调用fib方法的次数为：14次，可以看到，整个结果下来，其实斐波拉契数列的递归解法的流程会产生一棵二叉树，若将二叉树的所有节点都填充的话(变成一棵满二叉树)，f(5)的时间复杂度为：O($2^5$)，大家可以数一下，树的节点总数为：$2^0$ + $2^1$ + $2^2$ + $2^3$ + $2^4$ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 $\approx$ 32 = $2^5$。将树结构画出来后，有个很明显的问题，就是有很多重复的计算，比如在求f(4)的时候，其实f(3)已经计算过了，但还需要重复计算一次。为了解决重复计算的问题，我们可以把计算过的值缓存起来，于是，我们把算法进行优化，添加缓存。

三、引入缓存，优化时间复杂度

要添加缓存，在java中，最常见的就是使用hashMap，因为它的时间复杂度为O(1)，且我们无需范围查找，那么首选hash类型的缓存(额外知识点：MySQL中hash索引的应用场景之一)。于是我们使用map来尝试下，优化后的代码如下：private static Map<Integer, Integer> cache = new HashMap<>(); public static int fibCache(int n) { if (cache.get(n) == null) { cache.put(n, n <= 1 ? n : fibCache(n - 1) + fibCache(n - 2)); } return cache.get(n); } 针对优化后的解法，我画了一幅图来加深理解： 由上图可知，整个斐波拉契数列求fib(5)时，由于添加了缓存的原因，只需要计算5次即可，即fib(0)、fib(1)、fib(2)、fib(3)、fib(4)，虽然fib(4) = fib(3) + fib(2)，但只要fib(3)或者fib(2)执行过一次，就会被添加至缓存中。最终，时间复杂度优化成了O(n)。咱们是不是该好好庆祝下，整个算法的时间复杂度从O($2^n$)降到了O(n)。但其实这还不是最优解，因为递归是很耗费空间的，每递归一次就要占用一次调用栈，况且还额外新增了一个HashMap的数据结构(底层是数组 + 链表(不考虑转换成红黑树))，又占用了一点空间。那我们能不能不使用递归且不需要额外新增HashMap缓存来解决呢？

四、动态规划

回到最初，斐波拉契数列的模样是这样子的：

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34

从下(后)往上(前)分析推导出斐波拉契数列的递推关系式，并结合缓存实现动态规划

我们仔细观察后，很容易发现：从第n >= 2开始，当前位置的值是前两个元素的和。所以我们将数列的规则以表达式的方式定义出来：opt[n] = opt[n - 1] + opt[n - 2];其中n>=2，且opt[0] = 0; opt[1] = 1 有了这个后，我们很容易求出opt(n)，因为opt(n)就是斐波拉契数列的递推关系表达式。但是，当我们求opt(5)时，发现还需要知道opt[4]和opt[3]的值才行(PS: 思考到这里就停止，不要继续去想opt[4]的计算需要opt[3]和opt[2]，这样很容易把自己陷进去)，那么能不能假设opt[4]和opt[3]的值已经存在了，直接拿结果(因为我们肯定知道opt[3]和opt[4]是要计算出来的，所以此时可以理解成计算出来就把它放入缓存中，此时在计算opt[5]时认为opt[3]和opt[4]已经存在了也是合理的)。如果是这样的话，那opt数组其实就是第三章中的hashMap缓存了。

于是，我们尝试解读下如下代码：

public static int dynamicFib(int n) { // 定义上述说的opt数组，长度为什么为n + 1呢？ // 因为我们要求opt[5], 实际上它位于的是数组 // index为5的位置上，index == 5，那是不是说明 // 数组长度为6, 因此opt数组长度为n + 1 int opt[] = new int[n + 1]; // opt[0]和opt[1]的赋值为0和1，由题目可知 opt[0] = 0; opt[1] = 1; // 一层循环，i从2开始(满足上述的n >= 2时，才使用递推关系式进行求解) for (int i = 2; i <= n; i++) { // 递推关系式写在循环里面 // 当求opt[2]是，计算了opt[0]和opt[1] // 而opt[0]和opt[1]是已知条件 // 计算完后，就把值存在了opt中index = 2 // 的位置上了，完成了缓存的操作 opt[i] = opt[i - 1] + opt[i -2]; } // 数组中的最后一个元素就是要求的结果。 return opt[n]; }

上述代码，就是使用动态规划的方式解决了斐波拉契数列的问题，时间复杂度为O(n)，因为遍历了整个opt数组，只开启了一个长度为n的数组，所以空间复杂度为O(n)。至此，从空间复杂度和时间复杂度两个维度来考虑，使用动态规划的方式解决斐波拉契数列问题是最优的。

五、动态规划题目解题思路

递归 + 记忆化(缓存) => 递推关系式

从斐波拉契数列的递归解法开始，到添加缓存优化时间复杂度，再到动态规划。要解决动态规划问题，若不能马上找到递推公式，可以从递归方法开始着手。

状态的定义： opt[n], dp[n], fib[n]

所谓opt[n], dp[n], fib[n]表示的都是针对这个问题的递推公式，比如在斐波拉契数列的递推公式中，fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2); 其中fib(n)表示的就是斐波拉契数列中的一种状态(求f(n)的状态)

状态转移方程：opt[n] = best_of(opt[n - 1], opt[n - 2], …)

所谓状态转移方程，通常指的就是递推关系式，使用状态转移方程可以求解决最优子结构(最优子问题)

最优子结构

最优子结构通常指的就是算法题中的一些最优解，比如一些常见的最值问题，通常都可以从状态转移方程中得到。

六、总结

动态规划题目很难，我们需要不断练习找灵感。斐波拉契数列是最简单的动态规划题，但我们通常使用的都是时间复杂度为O($2^n$)的递归算法，如果能使用动态规划的方式进行求解，那说明你很棒！本片博客是自己学习动态规划的一些总结，下篇博客内容将围绕计算不同路径的数目的算法题进行总结，进一步加深对动态规划的了解I am a slow walker, but I never walk backwards.