第三章 多维随机变量及其分布

§ 1 二维随机变量

二维随机变量定义: 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量$(X,Y)$,叫做二维随机向量或二维随机变量.

二维随机变量$(X,Y)$的分布函数的定义: 又称为随机变量X, Y的联合分布函数.设( $X,Y$ )是二维随机变量,对于任意实数 $x,y,$ 二元函数

$$F(x,y)=P\{(X⩽x)\cap (Y⩽y)\}\stackrel{\text{ 记成 }}{=}P\{X⩽x,Y⩽y\}$$

四大基本性质:

$F(x,y)$ 是变量 $x$ 和 $y$ 的不减函数

$0⩽F(x,y)⩽1$, 且

对于任意固定的 $y,F(-\infty ,y)=0$

对于任意画定的 $x,F(x,-\infty )=0$ $F(-\infty ,-\infty )=0,F(\infty ,\infty )=1$

$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),$ 即 $F(x,y)$ 关于 $x$ 右连续,关于 $y$ 也右连续.

对于任意 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),x_1<x_2,y_1<y_2,$ 下述不等式成立: $F\left(x_2,y_2\right)-F\left(x_2,y_1\right)+F\left(x_1,y_1\right)-F\left(x_1,y_2\right)⩾0$

离散型的随机变量的定义: 二维随机变量$(X,Y)$所有可能取到的值是有限对或可列无限多对

二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布律: 又称为随机变量X和Y的联合分布律

二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布函数:$F(x,y)={\sum }_{x_i⩽x{y}_j⩽y}{p}_{ij}$

连续型的二维随机变量的分布函数:$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

其中, $ f(u, v) $为\ast \ast 二维离散型随机变量$(X, Y)$的概率密度**

概率密度的四大性质:

$f(x,y)⩾0$

${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=F(\infty ,\infty )=1$

设 G 是 $xOy$ 平面上的区域,点 $(X,Y)$ 落在 $G$ 内的概率为 $$P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 连续 $,$ 则有 $$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$$

§ 2 边缘分布

二维离散型随机变量$(X,Y)$的边缘分布函数: 随机变量X, Y各自的分布函数

边缘分布函数和分布函数的关系: $$F_X(x)=P\{X⩽x\}=P\{X⩽x,Y<\infty \}=F(x,\infty )$$ 就是说，只要在函数 $F(x,y)$ 中令 $y\to \infty$ 就能得到 $F_X(x)$

边缘分布律:

X的分布律:$$P\left\{X=x_i\right\}=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij},i=1,2,\cdots$$

Y的分布律:$$P\left\{Y=y_j\right\}=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij},j=1,2,\cdots$$

分别称 $p_i.(i=1,2,\cdots )$ 和 $p.j(j=1,2,\cdots )$ 为( $X,Y$ ) 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布律(注意, 记号 $p_i.$ 中的“・"表示 $p_i.$ 是由 $p_{ij}$ 关于 $j$ 求和后得到的;同样 $,p.$ 是由 $p_{ij}$ 关于 $i$ 求和后得到的）.

边缘概率密度:

X的概率密度: $$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$$ Y的概率密度: $$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$$ 分别称 $f_X(x),f_Y(y)$ 为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 Y 的边缘概率密度.

§ 3 条件分布

**条件分布的定义: ** 设 ( $X,Y$ ) 是二维离散型 随机变量，对于固定的 $j,$ 若 $P\left\{Y=y_j\right\}>0$, 则称 $$P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}=\frac{P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}}{P\left\{Y=y_j\right\}}=\frac{p_{ij}}{p_{ij}},i=1,2,\cdots$$ 为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 X 的条件分布律。

条件分布具有的分布律性质:

$P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}⩾0$${\sum }_{i=1}^{\infty }P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{p_{ij}}{p_{ij}}=\frac{1}{p_{ij}}{\sum }_{i=1}^{\infty }{p}_{ij}=\frac{p_j}{p_{ij}}=1$

条件概率密度的定义: 设二维随机变量$(X，Y)$的概率密度为 $f(x,y),(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为 $f_Y(y).$ 若对于固定的 $y,f_Y(y)>0,$ 则称 $\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 X 的条件概率密度，记 $$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

§ 4 相互独立的随机变量

定义: 设 $F(x,y)$ 及 $F_X(x),F_Y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数及边缘分布 函数. 若对于所有 $x,y$ 有 $$P\{X⩽x,Y⩽y\}=P\{X⩽x\}P\{Y⩽y\}$$ 即, $$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$ 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的

§ 5 两个随机变量的函数分布

(一) $Z=X+Y$ 的分布

设( $X,Y$ ) 是二维连续型随机变量 $,$ 它具有概率密度 $f(x,y).$ 则 $Z=X+Y$ 仍为连续型随机变量,其概率密度为 $$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)\mathrm{d}y$$ 或 $$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)\mathrm{d}x$$

卷积公式:

又若 X 和 Y 相互独立，设 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘密度分别为 $f_X(x)$, $f_Y(y)$, 则 $$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y$$ 和 $$f_{X+Y}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x$$ 称为$f_X$ 和 $f_Y$ 的卷积公式 $,$ 记为 $f_X\ast f_Y,$ 即 $$f_X\ast f_Y={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x$$

(二) $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布 $,Z=XY$ 的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 $f(x,y),$ 则 $Z=\frac{Y}{X}$, $Z=XY$ 仍为连续型随机变量，其概率密度分别为 $$f_{Y/X}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x|f(x,xz)\mathrm{d}x$$

$$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x$$

(三) $M=max\{X,Y\}$ 及 $N=min\{X,Y\}$的分布

设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_X(x)$ 和$F_Y(y).$ 现在来求 $M=\max \{X,Y\}$ 及 $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函数.

由于 $M=\max \{X,Y\}$ 不大于 $z$ 等价于 $X$ 和 $Y$ 都不大于 $z$,故有 $$P\{M⩽z\}=P\{X⩽z,Y⩽z\}$$ 又由于 X 和 Y 相互独立，得到 $M=\max \{X,Y\}$ 的分布 函数为 $$F_{\max }(z)=P\{M⩽z\}=P\{X⩽z,Y⩽z\}=P\{X⩽z\}P\{Y⩽z\}$$ 即有 $F_{\max }(z)=F_X(z)F_Y(z)$

类似地，可得 $N=\min \{X,Y\}$ 的分布函数为 $$\begin{array}{rl}{F}_{\min }(z)& =P\{N⩽z\}=1-P\{N>z\}\\ & =1-P\{X>z,Y>z\}=1-P\{X>z\}\cdot P\{Y>z\}\end{array}$$ 即 $$F_{\min }(z)=1-\left[1-F_X(z)\right]\left[1-F_Y(z)\right]$$