方差分析(Analysis of variance, ANOVA) 主要研究分类变量作为自变量时，对因变量的影响是否是显著的。
以焦虑症治疗为例，现有两种治疗方案：认知行为疗法（CBT）和眼动脱敏再加工法（EMDR）。我们招募10位焦虑症患者作为志愿者，随机分配一半的人接受为期五周的CBT，另外一半接受为期五周的EMDR，设计方案如表1-1所示。在治疗结束时，要求每位患者都填写状态特质焦虑问卷（STAI），也就是一份焦虑度测量的自我评测报告。
在这个实验设计中，治疗方案是两水平（CBT、EMDR）的组间因子。之所以称其为组间因子，是因为每位患者都仅被分配到一个组别中，没有患者同时接受CBT和EMDR。表中字母s代表受试者（患者）。STAI是因变量，治疗方案是自变量。由于在每种治疗方案下观测数相等，因此这种设计也称为均衡设计（balanced design）；若观测数不同，则称作非均衡设计（unbalanced design）。
因为仅有一个类别型变量，表1的统计设计又称为单因素方差分析（one-way ANOVA），或进一步称为单因素组间方差分析。
现假设你对治疗方案差异和它随时间的改变都感兴趣，则将两个设计结合起来即可：随机分配五位患者到CBT，另外五位到EMDR，在五周和六个月后分别评价他们的STAI结果（见表1-3）。
疗法（therapy）和时间（time）都作为因子时，我们既可分析疗法的影响（时间跨度上的平均）和时间的影响（疗法类型跨度上的平均），又可分析疗法和时间的交互影响。前两个称作主效应，交互部分称作交互效应。
当设计包含两个甚至更多的因子时，便是因素方差分析设计，比如两因子时称作双因素方差分析，三因子时称作三因素方差分析，以此类推。若因子设计包括组内和组间因子，又称作混合模型方差分析，当前的例子就是典型的双因素混合模型方差分析。
本例中，你将做三次F检验：疗法因素一次，时间因素一次，两者交互因素一次。若疗法结果显著，说明CBT和EMDR对焦虑症的治疗效果不同；若时间结果显著，说明焦虑度从五周到六个月发生了变化；若两者交互效应显著，说明两种疗法随着时间变化对焦虑症治疗影响不同（也就是说，焦虑度从五周到六个月的改变程度在两种疗法间是不同的）。
现在，我们对上面的实验设计稍微做些扩展。众所周知，抑郁症对病症治疗有影响，而且抑郁症和焦虑症常常同时出现。即使受试者被随机分配到不同的治疗方案中，在研究开始时，两组疗法中的患者抑郁水平就可能不同，任何治疗后的差异都有可能是最初的抑郁水平不同导致的，而不是由于实验的操作问题。抑郁症也可以解释因变量的组间差异，因此它常称为混淆因素（confounding factor）。由于你对抑郁症不感兴趣，它也被称作干扰变数（nuisance variable）。
假设招募患者时使用抑郁症的自我评测报告，比如白氏抑郁症量表（BDI），记录了他们的抑郁水平，那么你可以在评测疗法类型的影响前，对任何抑郁水平的组间差异进行统计性调整。本案例中，BDI为协变量，该设计为协方差分析（ANCOVA）。
以上设计只记录了单个因变量情况（STAI），为增强研究的有效性，可以对焦虑症进行其他的测量（比如家庭评分、医师评分，以及焦虑症对日常行为的影响评价）。当因变量不止一个时，设计被称作多元方差分析（MANOVA）， 若协变量也存在， 那么就叫多元协方差分析（MANCOVA）。
单因素方差分析的方差分析表
单因素方差分析中，你感兴趣的是比较分类因子定义的两个或多个组别中的因变量均值。以multcomp包中的cholesterol数据集为例，50个患者均接受降低胆固醇药物治疗（trt）五种疗法中的一种疗法。其中三种治疗条件使用药物相同，分别是20mg一天一次（1time）、10mg一天两次（2times）和5mg一天四次（4times）。剩下的两种方式（drugD和drugE）代表候选药物。
> library(multcomp) > attach(cholesterol) > > # 统计各组样本大小 > table(trt) trt 1time 2times 4times drugD drugE 10 10 10 10 10 > > # 各组均值 > aggregate(response, by=list(trt), FUN=mean) Group.1 x 1 1time 5.78197 2 2times 9.22497 3 4times 12.37478 4 drugD 15.36117 5 drugE 20.94752 > > # 各组标准差 > aggregate(response, by=list(trt), FUN=sd) Group.1 x 1 1time 2.878113 2 2times 3.483054 3 4times 2.923119 4 drugD 3.454636 5 drugE 3.345003 > > # 进行方差分析 > fit <- aov(response ~ trt) > summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trt 4 1351.4 337.8 32.43 9.82e-13 *** Residuals 45 468.8 10.4 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1方差分析的结果中，各项数字的含义可以参照表2-1。
查看各水平对应的组均值的差异
gplots包中的plotmeans()可以用来绘制带有置信区间的组均值图形。如图9-1所示，图形展示了带有95%的置信区间的各疗法均值，可以清楚看到它们之间的差异。
library(gplots) plotmeans(response ~ trt, xlab="Treatment", ylab="Response", main="Mean Plot\nwith 95% CI") detach(cholesterol)2-1 五种降低胆固醇药物疗法的均值，含95%的置信区间
多重比较
虽然ANOVA对各疗法的F检验表明五种药物疗法效果不同，但是并没有告诉你哪种疗法与其他疗法不同。多重比较可以解决这个问题。例如，TukeyHSD()函数提供了对各组均值差异的成对检验。
> TukeyHSD(fit) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = response ~ trt) $trt diff lwr upr p adj 2times-1time 3.44300 -0.6582817 7.544282 0.1380949 4times-1time 6.59281 2.4915283 10.694092 0.0003542 drugD-1time 9.57920 5.4779183 13.680482 0.0000003 drugE-1time 15.16555 11.0642683 19.266832 0.0000000 4times-2times 3.14981 -0.9514717 7.251092 0.2050382 drugD-2times 6.13620 2.0349183 10.237482 0.0009611 drugE-2times 11.72255 7.6212683 15.823832 0.0000000 drugD-4times 2.98639 -1.1148917 7.087672 0.2512446 drugE-4times 8.57274 4.4714583 12.674022 0.0000037 drugE-drugD 5.58635 1.4850683 9.687632 0.0030633 > par(las=2) > par(mar=c(5,8,4,2)) > plot(TukeyHSD(fit))成对比较图形如图2-2所示。图形中置信区间包含0的疗法说明差异不显著（p>0.05）。
图2-2 Tukey HSD均值成对比较图
评估检验的假设条件 根据2.1中我们讲的关于方差分析的推导中，我们知道，方差分析结果的有效性是建立在一系列假设条件之上的，因此，在我们使用方差分析模型时，需要评估进行方差分析的数据，是否符合模型使用的假设条件。
正态性检验 第一，在建立模型时，我们假设因变量是服从正态分布的，需要进行正态性检验。
正态性检验的方法有两种，一是通过QQ图进行检验。
# QQ plot library(car) qqPlot(lm(response ~ trt, data=cholesterol), simulate=TRUE, main="Q-Q Plot", labels=FALSE)除此之外，R里面也提供了一些package来进行正态性检验。
K-S test 统计学里, Kolmogorov–Smirnov 检验(亦称：K–S 检验)是用来检验数据是否符合某种分布的一种非参数检验。其原假设H0H_0H 0 :两个数据分布一致或者数据符合理论分布。在R语言里，我们可以使用ks.test(x, pnorm)进行正态性检验，若结果中的p值大于0.05，则数据符合正态分布。
Anderson–Darling test Anderson–Darling检验是一种用来检验给定的样本是否来自于某个确定的概率分布的统计检验方法。在R语言中，我们可以从nortest包中的ad.test()进行检验。若结果中的p值大于0.05，则数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk test Shapiro-Wilk检验在小样本情况下，是很普通的正态性检验方法，Shapiro.test()在默认安装的stats包中。原假设H0H_0H 0 : 数据符合正态分布。
Lilliefor test Lilliefor test是基于Kolmogorov–Smirnov test的一种正态性检验。原假设H0H_0H 0 : 数据符合正态分布，lillie.test()也在nortest包中。
方差齐性检验 因为方差分析的实质是检验多个水平的均值是否有显著差异，如果各个水平的观察值方差差异太大，只检验均值之间的差异就没有意义了，所以要进行方差齐性检验。
Bartlett test可以用来检验数据的方差齐性。
> bartlett.test(response ~ trt, data=cholesterol) Bartlett test of homogeneity of variances data: response by trt Bartlett's K-squared = 0.57975, df = 4, p-value = 0.9653Bartlett检验表明五组的方差并没有显著不同（p=0.97）。其他检验如Fligner-Killeen检验 （fligner.test()函数）和Brown-Forsythe检验（HH包中的hov()函数）此处没有做演示，但它们获得的结果与Bartlett检验相同。
不过，方差齐性分析对离群点非常敏感。可利用car包中的outlierTest()函数来检测离群点：
outlierTest(fit) No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05 Largest |rstudent|: rstudent unadjusted p-value Bonferroni p 19 2.251149 0.029422 NA从输出结果来看，并没有证据说明胆固醇数据中含有离群点（当p>1时将产生NA）。因此根据正态性检验、方差齐性检验和离群点检验，该数据似乎可以用ANOVA模型拟合得很好。这些方法反过来增强了我们对于所得结果的信心。
