在开始之前，我们先看有一组例子：
我们若有矩阵A： ，和一个向量v, 若我们不断用矩阵A来左乘v，输出的结果会有什么样的特点呢？我们来看看：
我们看看用矩阵A左乘四次的向量可视化出来是什么的结果：
蓝色是向量v，黑色是向量v不断用矩阵A左乘出来的向量。我们可以看到，左乘出来的向量会不断接近一个向量方向，这个方向，就是矩阵A的特征向量的方向。蓝色是向量v。红色是计算出来的特征向量。
如上图所示的两条红色向量，把他们无限延长，会形成一个“X”，这个红色的X就是所谓的矩阵的特征空间。
看到这里也许有同学会问，特征向量是两条，为什么只会不断拟合其中一条？因为这是跟特征向量对应的特征值有关的，用矩阵不断乘一个向量，只会拟合到特征值最大的特征向量。
然后我们来看看特征向量和特征值的关系：
若矩阵A与它的特征向量v相乘，那么就会完全等于A的特征值与A的特征向量相乘。(特征值为常数)
所以对于一个矩阵而言，它的特征值和特征向量是它的本质。我们看一下下图：
红色向量为矩阵A的特征向量v，黑色向量为矩阵A乘A的特征向量Av。
那么综合上面所有信息我们可以知道：
任意一个向量v，它经过数次与矩阵A相乘，得到的向量Av会几乎和矩阵A的特征向量方向相同。这时候，可以把Av看作A的特征向量，那么再继续用矩阵A乘的时候，得到的向量方向就不变了，变化的只有长度，长度为原来的长度乘特征值。
实验：
用特征值为2的矩阵A，不断左乘某个向量b，看看得到向量的长度是不是2的倍数：
A = np.array([ #特征值为2 [2,0], [0,2] ]) eigenvalue,featurevector=np.linalg.eig(A) print(eigenvalue) b = np.array([ [2], [1] ]) b = np.matmul(A,b) print(np.sqrt(b[0]**2+b[1]**2)) #[4.47213595] b = np.matmul(A,b) print(np.sqrt(b[0]**2+b[1]**2)) #[8.94427191] b = np.matmul(A,b) print(np.sqrt(b[0]**2+b[1]**2)) #[17.88854382] b = np.matmul(A,b) print(np.sqrt(b[0]**2+b[1]**2)) #[35.77708764] b = np.matmul(A,b) print(np.sqrt(b[0]**2+b[1]**2)) #[71.55417528]我们可以看到，结论符合。所以如果矩阵A的特征值为1的话，那么不断左乘的话，得到的结果也是不会变的。
具体例子说明：
我们可以把矩阵A看作是一个运动。A表示了运动的方向(特征向量)和运动的速度(特征值)。如果一个向量b被这个矩阵A左乘，那么b就会往矩阵A所规定的方向和速度运行。A乘了b多少次，就是b以A规定的方向和速度运行了多少秒。
