剑指 Offer 64. 求1+2+…+n
难度中等157
求 1+2+...+n ，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句（A?B:C）。
示例 1：
输入: n = 3 输出: 6示例 2：
输入: n = 9 输出: 45限制：
1 <= n <= 10000思路：
首先我们梳理一下，这题要求我们不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case 等关键字及条件判断语句，因此我们手里能用的工具很少，列举出来发现只有加减法，赋值，位运算符以及逻辑运算符。
方法一：递归
思路和算法
试想一下如果不加限制地使用递归的方法来实现这道题，相信大家都能很容易地给出下面的实现（以 java 为例）：
public int sumNums(int n) { return n==0? 0: n+sumNums(n-1); }通常实现递归的时候我们都会利用条件判断语句来决定递归的出口，但由于题目的限制我们不能使用条件判断语句，那么我们是否能使用别的办法来确定递归出口呢？答案就是逻辑运算符的短路性质。
以逻辑运算符 && 为例，对于 A && B 这个表达式，如果 A 表达式返回 False ，那么 A && B 已经确定为 False ，此时不会去执行表达式 B。同理，对于逻辑运算符 ||， 对于 A || B 这个表达式，如果 A 表达式返回 True ，那么 A || B 已经确定为 True ，此时不会去执行表达式 B。
利用这一特性，我们可以将判断是否为递归的出口看作 A && B 表达式中的 A 部分，递归的主体函数看作 B 部分。如果不是递归出口，则返回True，并继续执行表达式 B 的部分，否则递归结束。当然，你也可以用逻辑运算符 || 给出类似的实现，这里我们只提供结合逻辑运算符 && 的递归实现。
class Solution { public int sumNums(int n) { boolean flag = n > 0 && (n += sumNums(n - 1)) > 0; return n; } }复杂度分析
时间复杂度：O(n)O(n)。递归函数递归 nn 次，每次递归中计算时间复杂度为 O(1)O(1)，因此总时间复杂度为 O(n)O(n)。
空间复杂度：O(n)O(n)。递归函数的空间复杂度取决于递归调用栈的深度，这里递归函数调用栈深度为 O(n)O(n)，因此空间复杂度为 O(n)O(n)。
方法二：快速乘 思路和算法
考虑 A 和 B 两数相乘的时候我们如何利用加法和位运算来模拟，其实就是将 B 二进制展开，如果 B 的二进制表示下第 ii 位为 1，那么这一位对最后结果的贡献就是 A*(1<<i)A∗(1<<i) ，即 A<<iA<<i。我们遍历 B 二进制展开下的每一位，将所有贡献累加起来就是最后的答案，这个方法也被称作「俄罗斯农民乘法」，感兴趣的读者可以自行网上搜索相关资料。这个方法经常被用于两数相乘取模的场景，如果两数相乘已经超过数据范围，但取模后不会超过，我们就可以利用这个方法来拆位取模计算贡献，保证每次运算都在数据范围内。
下面给出这个算法的 C++ 实现：
int quickMulti(int A, int B) { int ans = 0; for ( ; B; B >>= 1) { if (B & 1) { ans += A; } A <<= 1; } return ans; }回到本题，由等差数列求和公式我们可以知道 1 + 2 + ...+ n1+2+⋯+n 等价于 ，对于除以 2 我们可以用右移操作符来模拟，那么等式变成了 n(n+1)>>1n(n+1)>>1，剩下不符合题目要求的部分即为 n(n+1)n(n+1)，根据上文提及的快速乘，我们可以将两个数相乘用加法和位运算来模拟，但是可以看到上面的 C++ 实现里我们还是需要循环语句，有没有办法去掉这个循环语句呢？答案是有的，那就是自己手动展开，因为题目数据范围 nn 为 [1,10000][1,10000]，所以 nn 二进制展开最多不会超过 1414 位，我们手动展开 1414 层代替循环即可，至此满足了题目的要求，具体实现可以参考下面给出的代码。
class Solution { public int sumNums(int n) { int ans = 0, A = n, B = n + 1; boolean flag; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; flag = ((B & 1) > 0) && (ans += A) > 0; A <<= 1; B >>= 1; return ans >> 1; } }复杂度分析
时间复杂度：O(\log n)O(logn)。快速乘需要的时间复杂度为 O(\log n)O(logn)。 空间复杂度：O(1)O(1)。只需要常数空间存放若干变量。
参考：https://leetcode-cn.com/problems/qiu-12n-lcof/solution/qiu-12n-by-leetcode-solution/
