经管类概率论

龙永红的经管类概率论前三章内容小结，记得把下面的两张表背熟。。。

第一章

恒成立

任何情况都成立

对立性 $$P(A)=1-P(\overline{A})$$

作差 $$P(A-B)=P(A)-P(BA)$$

$$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$$

$$P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$$

上面的式子可以写成 $$P(\overline{A}|B)=P(B|B)-P(A|B)$$

$$其中P(B|B)=1$$

和（并） $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

乘积 $$P(AB)=P(A)P(B|A)（乘法公式）$$

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}（条件概率）$$

全概率公式和贝叶斯公式 $$P(A)=\sum _{i}P(A)P(B_i|A)（全概率公式）$$

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}（贝叶斯公式）$$

对偶律 $$P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A\cap B})$$

$$P(\overline{A\cup B})=P(\overline{A}\cap \overline{B})$$

拓展 $$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A1)P(A_3|A_1{A}_2)\dots P(A_n|A_1{A}_2\dots A_{n-1})$$

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum _{j}P(A_j)P(B|A_j)}$$

互斥条件

核心是 $P(AB)=0$

$$P(A+B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

$$P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)$$

独立条件

核心是 $P(AB)=P(A)P(B)$

条件概率情形 $$P(A|B)=P(A)$$

$$P(A_1{A}_2\dots A_n|B)=P(A_1|B)P(A_2|B)\dots P(A_n|B)$$

肠癌那道题

$$\begin{array}{rl}P(B|A_1{A}_2\dots A_n)& =\frac{P(B)P(A_1{A}_2\dots A_n|B)}{P(B)P(A_1{A}_2\dots A_n|B)+P(\overline{B})P(A_1{A}_2\dots A_n|\overline{B})}\\ & =\frac{P(B)P(A_1|B)P(A_2|B)\dots P(A_n|B)}{P(B)P(A_1|B)P(A_2|B)\dots P(A_n|B)+P(\overline{B})P(A_1|\overline{B})P(A_2|\overline{B})\dots P(A_n|\overline{B})}\end{array}$$

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第二章

分布函数性质

非负单调非降右连续（离散型）非负单调非降连续（连续型）

密度函数性质（连续型才有密度函数）

非负归一 $$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x)dx=1$$

期望存在条件（绝对收敛）

$$\sum _{i=1}^{\infty }|x_i|p_i<\infty （离散型）$$

$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}|x|f(x)dx<\infty （连续型）$$

期望和方差

期望 $$EX=\sum _{i=begin}^{end}{x}_i{p}_i（离散型）$$

$$EX=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}xf(x)dx（连续型）$$

$$E(aX+b)=aEX+b（恒成立）$$

$$Eg(x)=\sum _{i=begin}^{end}g(x_i)p_i（离散型）$$

$$Eg(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}g(x)f(x)dx（连续型）$$

方差 $$DX=E(X-EX{)}^2=E{X}^2-(EX{)}^2（通式）$$

$$DX=\sum _{i=begin}^{end}(x_i-EX{)}^2（离散型）$$

$$DX=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}(x-EX{)}^{2}f(x)dx（连续型）$$

$$D(aX+b)=a^{2}DX（恒成立）$$

离散性分布

分布类型符号表达式$EX$$DX$备注退化分布无$P(X=a)=1$a0退化为一个确定的常数两点分布无$X(\omega )=\{\begin{array}{ll}{x}_1& ,\omega \in A\\ x_2& ,\omega \in \overline{A}\end{array}$ $P(x_1)=p$$P(x_2)=1-p$$p$$p(1-p)$丢硬币n个点上的均匀分布无$P(X=x_i)=\frac{1}{n},i=1,2,3,\cdots ,n$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\stackrel{def}{=}\overline{x}$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$无二项分布$X\sim b(n,p)$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$np$$np(1-p)$$n$次伯努利实验几何分布$X\sim g(k,p)$$P(X=K)=q^{k-1}p,k=1,2\cdots$$\frac{1}{p}$$\frac{q}{p^2}$注意k的取值，利用裂项求和计算超几何分布无$P(X=k)=\frac{C_{N_1}^k{C}_{N_2}^{n-k}}{C_N^n}$$n\cdot \frac{N_1}{N}$$n\cdot \frac{N_1}{N}\frac{N_2}{N}\cdot \frac{N-n}{N_{-}1}$不放回抽样小于放回抽样,$N，N_1,N_2$很大，而$n$很小时，看成二项分布泊松分布$X\sim p(\lambda )$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$\lambda$$\lambda$当二项分布中 $n\to \infty$，$n{p}_n\to \lambda$时，二项分布趋于泊松分布 连续型分布 分布类型符号表达式$EX$$DX$备注均匀分布$X\sim U[a,b]$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& 其他\end{array}$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b\\ 1,& x>b\end{array}$$\frac{a+b}{2}$$\frac{(b-a{)}^2}{12}$平均指数分布$X\sim e(\lambda )$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& 其他\end{array}$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\end{array}$$\frac{1}{\lambda }$$\frac{1}{{\lambda }^2}$无记忆性正态分布$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$\mu$${\sigma }^2$先转成标准正态分布再计算，$\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1^2)$ 要记住的特殊值：1.645（0.95）， 1.96（0.975）， 2（0.97725）

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第三章

运算法则（二元 & 恒成立）

$$E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c$$

$$D(aX+bY+c)=a^{2}DX+b^{2}DY+2abcov(X,Y)$$

一些要记住的符号

$$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}$$

$$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$$

$$p_i^X=P(X=x_i)=\sum _j{p}_{ij}$$

$$p_j^Y=P(Y=y_j)=\sum _i{p}_{ij}$$

$$cov(X,Y)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}(x-EX)(y-EY)dxdy=EXY-EXEY(离散表上作业，连续卷积公式)$$

$X$ 在 $Y=y_j$ 条件下的条件概率分布为（离散型）： $$p_{i|j}=P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_j^Y}$$$X$ 在 $Y=y$ 条件下的条件概率分布为（连续型）： 条件分布函数 $$F_{X|Y}(x|y)=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$$条件密度函数 $$f_{X|Y}(x,y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$ $XY$的（线性）相关系数 $${\rho }_{XY}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{DXDY}}$$

恒成立（无论是否独立）

$$E(X+Y)=EX+EY$$

分布函数和密度函数

$$F(x,y)=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}\underset{-\infty }{\overset{y}{\int }}f(s,t)dsdt$$

$$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x,y)dxdy=1$$

$$F_X(x)=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(s,t)dsdt=\underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}[\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(s,t)dt]ds$$

$$F_X^{{}^{\prime }}(x)\stackrel{变上限函数求导}{=}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x,t)dt\stackrel{换元}{=}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x,y)dy$$

$$f_X(x)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x,y)dy$$

$$f_Y(y)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}f(x,y)dx$$

独立的条件

（必要）是指已知独立能够得到的结论，反过来不一定推的出独立 $$P\{X\in A,Y\in B\}=P\{X\in A\}P\{Y\in B\}（引理，充要）$$

$$p_{ij}=p_i^X{p}_j^Y$$

$$P_{ij}=P_i{P}_j（离散型，充要）$$

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)（连续型，充要）$$

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)（连续型，充要）$$

$$EXY=EXEY（必要）$$

$$X,Y不（线性）相关（必要）$$

$$cov(X,Y)=0（必要）$$

$$D(X,Y)=DX+DY（必要）$$

一些计算技巧

由 $$DX=E{X}^2-(EX{)}^2$$ 得到 $$E{X}^2=DX+(EX{)}^2$$