五、假设检验：使用Python进行单个正态总体方差的假设检验

设总体$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),\mu ,{\sigma }^2$未知，$X_1,...,X_n$是总体X的样本。则其检验统计量为： $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$ 方差的假设检验也可分为三类：双边检验，左侧检验和右侧检验。

双边检验

假设检验的形式： $$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$ p值求法： 因为${\chi }^2$为非对称分布，所以在求其p值是一定要注意： $$p=\{{\chi }^2(n-1)\le {\chi }_0^2\}$$ 上式中，n为样本容量，而 $${\chi }_0^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$$ 真正的pval应该如下取值： $$pval=min(p,1-p)$$

左侧检验

假设检验的形式： $$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$$ p值求法： $$pval=\{{\chi }^2(n-1)\le {\chi }_0^2\}$$

右侧检验

假设检验的形式： $$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2{H}_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$$ p值求法： $$pval=\{{\chi }^2(n-1)\ge {\chi }_0^2\}$$

Python计算实现

import numpy as np from scipy import stats def chi2test(sample_var, sample_num,sigma_square,side='both', alpha=0.05): ''' 参数： sample_var--样本方差 sample_num--样本容量 sigma_square--H0方差 返回值： pval ''' x0=((sample_num-1)*sample_var)/(sigma_square) chi2 = stats.chi2(df=sample_num-1) pval = None if side == 'both': p = chi2.cdf(x0) pval = np.min(p, 1-p) elif side == 'left': pval = chi2.cdf(x0) else: pval = chi2.sf(x0) return {"pval": pval}

应用案例

例1：一个园艺科学家正在培养一个新品种苹果，这种苹果除了口感好和颜色鲜艳外，另一个重要特征是单个重量差异不大（对照品种的方差${\sigma }^2=7$). 为了评估新苹果，他随机挑选了 25 个测试重量（单位：克），其样本方差为$S^2=4.25$. 问新品种的方差是否比对照品种方差小？($\alpha =0.05$) 解：$H_0:{\sigma }^2\ge 7H_1:{\sigma }^2\le 7$ python计算如下：

chi2test(4.25, 25, 7,side='left') # 结果 {'pval': 0.067325420131622044}

因为$pval=0.067325420131622044>\alpha =0.5$, 所以接受原假设，即认为新品种的方差并不比对照组的小。

参考文献

《概率论与数理统计》 浙大numpy and scipy documents

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