原始方程
A
x
=
b
Ax = b
Ax=b，解为
x
=
A
−
1
b
x = A^{-1}b
x=A−1b，matlab描述 x = A\b超定方程乘以
A
T
A^T
AT 变为方阵
A
T
A
x
=
A
T
b
A^TAx = A^Tb
ATAx=ATb列向量的形式
A
T
A
A^TA
ATA 直接是一个数，简化计算再把
A
T
A
A^TA
ATA 作为一个整体除过去
x
=
(
A
T
A
)
−
1
A
T
b
x = (A^TA)^{-1} A^Tb
x=(ATA)−1ATb
最小二乘解，向量
b
′
b'
b′ 在张成的平面之外，解的满足误差最小，合成的向量是
b
′
b'
b′ 在张成的投影
A
T
(
b
′
−
A
x
′
)
=
0
A^T(b'-Ax')=0
AT(b′−Ax′)=0v 和 w 均为列向量
A
=
[
v
,
w
]
=
[
x
1
x
2
y
1
y
2
]
A = [v,w]=\begin{bmatrix} x_1&x_2\\ y_1&y_2 \end{bmatrix}
A=[v,w]=[x1y1x2y2]
A
T
=
[
v
T
w
T
]
=
[
x
1
y
1
x
2
y
2
]
A^T = \begin{bmatrix} v^T\\ w^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{bmatrix}
AT=[vTwT]=[x1x2y1y2]向量
v
v
v 和 向量
e
e
e 垂直
x
1
x
3
+
y
1
y
3
=
0
⇒
[
x
1
,
y
1
]
[
x
3
y
3
]
=
0
⇒
v
T
[
x
3
y
3
]
=
v
T
e
=
0
x_1x_3+y_1y_3=0\Rightarrow[x_1,y_1]\begin{bmatrix}x_3\\ y_3\end{bmatrix}=0\Rightarrow v^T\begin{bmatrix}x_3\\ y_3\end{bmatrix}=v^Te=0
x1x3+y1y3=0⇒[x1,y1][x3y3]=0⇒vT[x3y3]=vTe=0向量
e
e
e 与张成的平面垂直
A
T
e
=
0
A^Te=0
ATe=0
b
b
b 位于张成的向量内
k
1
v
+
k
2
w
=
b
k_1v+k_2w=b
k1v+k2w=b
[
v
,
w
]
[
k
1
k
2
]
=
b
[v,w]\begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix}=b
[v,w][k1k2]=b 在matlab里有子程序对应
(
A
T
A
)
−
1
A
T
(A^TA)^{-1} A^T
(ATA)−1AT 伪逆 pinv(A)
Processed:
0.011, SQL:
9
