本文先整体介绍 K-Means 算法的原理及特点，然后从模型、策略、算法三个要素切入介绍这个聚类算法，紧接着讲了几点 K-Means 算法缺点的解决方案；之后从 UDF 和框架两方面给出 K-Means 在 Python 中的实现方法；最后引入一个实际案例进行实操。
K-Means 是基于样本集合划分的聚类算法。它将样本集合划分为 k 个子集，构成了 k 个类，并将 n 个样本分到 k 个类中去，每个样本到其所属类的中心的距离最小。
K-Means ：
是基于划分的聚类，属于硬聚类方法；类别数k事先指定（如何指定？见下文）；距离或相似度的度量是 欧式距离平方 ，以中心或样本的均值表示类别；用于优化的目标函数：样本和其所属类的中心之间的距离的总和（SSE）；算法是迭代算法，不能保证得到全局最优。K-Means 的优缺点：
优点： 原理简单，实现容易；计算速度相对较快； 缺点： 类别数 k 需要事先指定；初始中心的选择会直接影响聚类结果；不能保证收敛到全局最优（局部最优）；对噪声和异常点敏感；对于非凸数据集或类别规模差异太大的数据效果较差（适用于球状类别）；大规模的数据集上效率较低；只能使用连续变量进行聚类。K-Means 模型的本质是一个划分函数，输入样本，输出样本对应的类别。 假设数据集有 n 行观测，拟聚为 k 类。 l = C ( i ) i ∈ ( 1 , 2 , … , n ) ; l ∈ ( 1 , 2 , … , k ) (1) l = C(i) \tag{1} \quad i\in(1,2,…,n);l\in(1,2,…,k) l=C(i)i∈(1,2,…,n);l∈(1,2,…,k)(1) 函数 C C C 是一个多对一的划分函数，输入样本 i i i，输出类别 l l l。
相似的样本被聚到同类，即让相同类中样本相似程度最小，故 K-Means 就是求解最优化的问题。 目标函数（csdn 里对 Latex语法的支持度不是很好，就用了截图）： 其中 W ( C ) W(C) W(C) 是损失函数，表示样本与其所属类的中心之间的距离总和（用这来表示相同类中的样本相似程度）。 那怎么让这个损失函数最小呢？ 这是个组合优化问题，n 个样本分到 k 类的分法是指数级别的。现实中解决这种 NP 困难问题，一般采用迭代的方式求解。
上面说了 K-Means 是求解最优化的问题，现实中会采用迭代的方式求解。
K-Means 算法： 拟定分为 k 类，确定距离度量为 欧式距离平方，通常还需要设置迭代停止条件（如最大迭代次数、误差）。
初始化质心，随机选用数据集中的 k 个样本作为初始类的中心（这些中心点代表了其所属的类）；计算各样本点到各中心的距离，将各样本点划分到离它们最近的类；重新计算各类的中心，再重复步骤2。 ① 如果迭代收敛（重新计算中心后的划分结果与之前一致）或符合迭代停止条件，则输出 C ∗ C^* C∗ （最小化的误差平方和）和 l l l （划分的结果）； ② 否则重复步骤2、3。实际运用中建议跑多次，最好再试试其他聚类算法，结合业务意义与误差平方法两个维度选取最佳的结果。
K-Means 聚类前需要事先指定类别数 k k k，实际运用中最优的 k k k 值是未知的，所以通常比较难确定。 解决方案：
尝试使用不同的 k k k 值聚类，根据聚类结果（通常用类的平均直径衡量），绘制出 类别数 k k k- 平均直径 的折线图，找到拐点，再结合实际业务在拐点或其附近确定相应的 k k k 值。
在指定了类别数 k k k 后，需要指定 k k k 个初始中心。 K-Means 初始中心是从样本点随机选取的。但是在数据量增大、类别数增多时，随机选定初始中心常会出现：一个较大子集有多个中心点，而其他多个较小的子集共用一个中心点的情况（如下图所示）。 原因是初始中心距离太近。那选取距离最远的点作为初始中心岂不是更简单直接，但是这样又可能会因为数据集中的离群点干扰影响聚类效果，所以这里引入 K-Means++ 算法，该算法对初始化中心环节做了改进，从源头改善局部最优解的现象。 解决方案：
K-Means++ 算法 在确认了类别数 k 的前提下：
从数据集中随机选择一个观测作为某个类的中心。计算每个观测点到该点的欧氏距离平方 D x D_x Dx（并放入一个数组中），并将这些距离求和得到 D t o t a l D_{total} Dtotal；从 [ 0 , D t o t a l ) [0, D_{total}) [0,Dtotal) 区间随机选择一个值 R R R，依次重复计算 R = R − D x R = R - D_x R=R−Dx ，直到 R ≤ 0 R≤0 R≤0 ，选择此时 D x D_x Dx 对应的点作为下一个中心点；重复第 2 步 ，直至 k k k 个初始聚类中心都确定。还有一种解决方案来确定初始化聚类中心。 先用层次聚类对样本进行聚类，得到想要的 k k k 个类时停止，然后从每个类中选取一个与中心距离最近的点，用这些点作为 K-Means 聚类的初始中心点。 但是这种方法在数据集大时效率很低。
毫无疑问的是 K-Means 算法的计算量是随着数据量递增的，在面对大规模的数据集时，K-Means的效率较低。 解决方案：
Mini-Batch K-Means： 算法原理：在每次迭代过程中，从数据集中随机抽取一部分以形成小批量的数据集，用该子集计算距离、更新类中心点。
分类变量可以通过独热编码（最常用）、虚拟编码等其他形式，作为连续变量输入。
使用工具：Python.
给定样本集合 X X X， X X X是m维实数向量空间 R m R^m Rm中点的集合，其中 x i , x j ∈ X x_i,x_j \in X xi,xj∈X。
闵氏距离： d i j = ( ∑ k = 1 m ∣ x i k − x j k ∣ p ) 1 p (1) d_{ij} = (\sum_{k=1}^m |x_{ik} - x_{jk}|^p)^\frac{1}{p} \tag{1} dij=(k=1∑m∣xik−xjk∣p)p1(1)马氏距离： d i j = [ ( x i − x j ) T S − 1 ( x i − x j ) ] 1 2 (2) d_{ij} = [(x_i - x_j)^T S^{-1} (x_i - x_j)] ^ \frac{1}{2} \tag{2} dij=[(xi−xj)TS−1(xi−xj)]21(2)注：当 S S S位单位矩阵时，马氏距离就是欧式距离.
import numpy as np import pandas as pd def dist_measure(x, y, typ='MIN', p=2, X=''): """ 距离度量函数（衡量观测与观测之间的相似程度） 输入： x, y -- 两个观测点（numpy 矩阵对象） typ -- 'MIN'表示闵氏距离；'MA'表示马氏距离。默认闵氏距离（也可用np.linalg.norm(x-y, ord=2)实现） p -- 闵氏距离的参数：1表示曼哈顿距离；2表示欧氏距离；'inf'表示切比雪夫距离 X -- 马氏距离的参数：数据集的矩阵，要求样本量n（行数）大于变量数m（列数），必须指定 返回： dist -- 指定的距离（float对象） """ if typ == 'MIN': if type(p) == int: dist = np.power(np.sum(np.power(np.abs(x - y), p)), 1/p) return dist elif p == 'inf': dist = np.max(np.abs(x - y)) # 当 p 取无穷大时，是切比雪夫距离 return dist else: print('错误：闵氏距离的p要求大于1的整数，输入不符合要求!') return None elif typ == 'MA': x = x.T y = y.T # 行向量（样品）的转置 Sigma = np.cov(X.T) # np.cov(M) M的行是变量，列是样品，故需要转置 try: Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma) dist = np.power((x - y).T @ Sigma_inv @ (x - y), 1/2) # 矩阵乘法： # matrix中@ * dot等价（np.multiply表示数量积）； # array中只能使用@和dot（普通的*和np.multiply表示数量积） return dist except Exception as e: print('错误：协方差矩阵不是半正定矩阵，即样本矩阵的行数小于等于列数.') return None else: print('错误：输入方法错误！只能是MIN或MA.') return None # 测试：求观测x与观测y的欧式距离平方 x = np.mat([1, 2]) y = np.mat([2, 1]) print(dist_measure(x, y)) # 1.414 ✔下方 UDF 支持 random 和 kmeans++ 两种初始化中心的方法：
# K-Means++ 支持函数（得到每个样本距离最近中心点的距离及距离之和） def get_sum_distance(centers, dataset): """ 参数: centers -- 中心点集合 dataset -- 数据集 返回: np.sum(dis_lst) -- 样本距离最近中心点的距离之和 dis_lst -- 每个样本距离最近中心点的距离（列表形式存放） """ dis_lst = np.array([]) for each_data in dataset: distances = np.array([]) for each_center in centers: temp_distance = dist_measure(each_data, each_center) # 计算样本和中心点的欧式距离 distances = np.append(distances, temp_distance) lab = np.min(distances) dis_lst = np.append(dis_lst, lab) return np.sum(dis_lst), dis_lst def init_center(dataset, k, typ=2, random_state=42): """ 初始化质心（初始质心不能相同） 输入： dataset -- 需要聚类的数据集（DataFrame或Matrix） k -- 事先指定的聚类的数（int对象） typ -- 类型1时是"random"，即从数据集中从随机抽取 k 行作为初始质心； 类型2时是"kmeans++" 返回： centroids -- 初始质心（k行m列的np.array对象，m由数据集决定） """ n = dataset.shape[0] # 行（观测） m = dataset.shape[1] # 列（变量） if typ == 1: rng = np.random.RandomState(random_state) indices = rng.randint(n, size=k) centroids = np.matrix(dataset[indices]) elif typ == 2: dataset = np.array(dataset) # 先从数据集随机选一个观测作为某一类的中心 rng = np.random.RandomState(random_state) p = rng.randint(0, len(dataset)) first_center = dataset[p] center_lst = [] center_lst.append(first_center) for i in range(k-1): sum_dis, dis_lst = get_sum_distance(center_lst, dataset) r = np.random.randint(0, sum_dis) for j in range(len(dis_lst)): r = r - dis_lst[j] if r <= 0: center_lst.append(dataset[j]) break else: pass centroids = np.mat(center_lst) return centroids选择合适的 k k k 是很重要的，参考 1.3.1 ，绘制类别数 k k k 与误差（这里定义各观测和其最近的类中心距离之和）的折线图，找到拐点。具体结合业务意义，选择拐点或拐点附近的点作为选定的 k k k 值。
def plot_k_vs_inertia_udf(df, k_min = 1, k_max = 10): """ K-Means UDF k 值选取函数 具体是绘制出类别数k与误差（这里定义各观测和其最近的类中心距离之和）的折线图 """ index = [] # 横坐标数组（k的取值） inertia = [] # 纵坐标数组（误差，即各观测和其最近的类中心距离之和） for k in range(k_min, k_max+1): centroids, cluster_result = K_Means(df, k=k, typ=2) index.append(k) inertia.append(cluster_result[:, 1].sum()) # 绘制折线图 plt.plot(index, inertia, "-o") plt.grid()class sklearn.cluster.KMeans 重要参数与类属性：
参数（一般只需要调整类别数 n_clusters 即可）：
n_clusters = 8; # 默认聚成 8 类init = ‘k-means++’ : ‘k-means++’/‘random’/ndarray，初始类中心位置 ‘k-means++’ : 采用优化后的算法确定类中心‘random’ : 随机选取k个案例作为初始类中心ndarray : (n_clusters, n_features)格式提供的初始类中心位 precompute_distances = ‘auto’ : {‘auto’, True, False} 是否预先计算距离，分析速度更快，但需要更多内存 ‘auto’ : 如果n_samples*n_clusters > 12 million，则不事先计算距离algorithm = ‘auto’ : ‘auto’, ‘full’ or ‘elkan’，具体使用的算法 ‘full’ : 经典的EM风格算法 ‘elkan’ : 使用三角不等式，速度更快，但不支持稀疏数据 ‘auto’ : 基于数据类型自动选择常用用法：
# k 值的选取，找拐点 def plot_k_vs_inertia(df, k_min = 1, k_max = 10): """ K-Means k 值选取函数（基于 Sklearn 框架） 不足：折线图有点吃藕（丑），后续优化下 具体是绘制出类别数k与误差（这里定义各观测和其最近的类中心距离之和）的折线图 """ index = [] # 横坐标数组（k的取值） inertia = [] # 纵坐标数组（误差，即各观测和其最近的类中心距离之和） for i in range(k_min, k_max+1): model = KMeans(n_clusters=i).fit(df) index.append(i) inertia.append(model.inertia_) # 绘制折线图 plt.plot(index, inertia, "-o") plt.grid()假如发现拐点在 k=5：
# sklearn 实现 from sklearn.cluster import KMeans # 将 df 聚成 5 类 kmeans = KMeans(n_clusters=5, random_state=0).fit(df) kmeans.labels_ # 聚类结果（即各行被划分的类别），(n,)的array # kmeans.cluster_centers_ # 最后各类别的中心，array (n_clusters, n_features) # kmeans.inertia_ # 误差（各观测与其最近中心的距离之和）对于样本量超过1万的情形，建议使用MiniBatchKMeans，算法改进为在线增量，速度会更快。
from sklearn.cluster import MiniBatchKMeans mini_kmeans = MiniBatchKMeans(n_clusters=5, random_state=0).fit(df) mini_kmeans.labels_1.获取数据：用 sklearn 框架里的 make_blobs 生成测试聚类算法的玩具数据（1000行2列），这样会直观点：
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns from sklearn.datasets import make_blobs from sklearn.cluster import KMeans, MiniBatchKMeans %matplotlib inline plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用来正常显示中文标签 plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用来正常显示负号 plt.style.use("tableau-colorblind10") data,label = make_blobs(n_samples=100,n_features=2,centers=3,center_box=(-10.0,10.0),random_state=None) df, _ = make_blobs(n_samples=1000, centers=5, random_state=18) # 生成数据 df = pd.DataFrame(df) plt.scatter(df.iloc[:, 0], df.iloc[:, 1], s=20) # 将数据可视化展示这个数据很干净，直观的就可以看出分为5个类别。 2.选择类别数 k ：
plot_k_vs_inertia_udf(df) plot_k_vs_inertia(df)左图是 K-Means UDF 的结果，右图是 Sklearn 框架中 KMeans 的结果。拐点都是 k = 5 时，直接确定 k = 5。 3.聚类划分样本：这里因为数据集是二维的，就用散点图做呈现了，也更直观点。
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 5)) # UDF centers1, labels1 = K_Means(df, 5) centers1 = np.squeeze(np.array(centers1)) labels1 = np.squeeze(np.array(labels1[:, 0])) axes[0].scatter(df.iloc[:, 0], df.iloc[:, 1], s=20, c=labels1) axes[0].scatter(centers1[:, 0], centers1[:, 1], s=100, marker='*', c="r") # Sklearn kmeans = KMeans(n_clusters=5, random_state=0).fit(df) centers2, labels2 = kmeans.cluster_centers_, kmeans.labels_ axes[1].scatter(df.iloc[:, 0], df.iloc[:, 1], s=20, c=labels2) axes[1].scatter(centers2[:, 0], centers2[:, 1], s=100, marker='*', c="r")可以看到不论是自己写的函数（UDF）还是套用的框架（sklearn），都精准地将这份数据集划分成了5个类别。
注： sklearn 的拟合速度要快很多。此外由于数据比较干净，考虑点较少。实际运用时，k 值最好不光看拐点，再还需结合具体业务考虑，需要多跑几次或多用几种不同的聚类算法，以期得到更合适的结果。
本文的篇幅过长，之后会将相应内容放在另一篇博文中：K-Means 案例实操 注意使用 K-Means 之前要审查异常值、并做处理，还需要对数据做标准化。
参考： [1] 李航. 统计学习方法（第二版）[M] [2] Peter Harrington. 机器学习实战 [M] [3] 维基百科. K-Means算法 [4] 张文彤. Python数据分析-玩转数据挖掘
