应力分析（2）¹

应力分量的坐标变换

新坐标系中的3个正面分别看作是旧坐标系中的斜面，应用斜面公式（Cauchy公式），可以导出新旧坐标系中应力分量的变换关系。

$$[{\sigma }^{\prime }]=[\beta ][\sigma ][\beta {]}^T\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

式中$[\beta ]$为新坐标系三个基矢量在旧坐标系三个轴上的投影组成的矩阵。

$[\beta ]=\left[\begin{array}{ccc}{l}_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\\ l_3& m_3& n_3\end{array}\right]$，$[\sigma ]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$

张量表示为 $${\sigma }_{m^{\prime }{n}^{\prime }}={\beta }_{m^{\prime }i}{\beta }_{n^{\prime }j}{\sigma }_{ij}\text{\hspace{1em}(1.22)}$$ 式中${\beta }_{n^{\prime }j}={{\mathbf{e}}^{\prime }}_{n^{\prime }}\cdot {\mathbf{e}}_j$是${{\mathbf{e}}^{\prime }}_{n^{\prime }}$在${\mathbf{e}}_j$上的投影。

主应力、应力张量不变量

根据斜面公式，给定一点的应力状态，即$\sigma$已知，各斜面上的应力矢量$\mathbf{T}(\mathbf{n})$随斜面外法线方向$\mathbf{n}$而改变。根据材料力学知识，在所有的斜面中存在这样的一个面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力矢量$\mathbf{T}(\mathbf{n})$只有沿法线方向的分量。下面求这个斜面的单位法线矢量$\mathbf{n}$以及该面上的正应力$\sigma$。 正应力与该面上的应力矢量的关系可表示为

$$\mathbf{T}(\mathbf{n})=\sigma \mathbf{n}$$

写成分量形式为 $$T_x=\sigma l,T_y=\sigma m,T_z=\sigma n$$

代入应力分析（1）的公式（1.6） $$\begin{gathered} T_x={\sigma }_{x}l+{\tau }_{yx}m+{\tau }_{zx}n \\ {T}_y={\tau }_{xy}+{\sigma }_{y}m+{\tau }_{zy}n \\ {T}_z={\tau }_{xz}+{\tau }_{yz}m+{\sigma }_{z}n\text{\hspace{1em}(1.6)} \end{gathered}$$

整理可得 $$\begin{gathered} ({\sigma }_x-\sigma )l+{\tau }_{yx}m+{\tau }_{zx}n=0 \\ {\tau }_{xy}l+({\sigma }_y-\sigma )m+{\tau }_{zy}n=0 \\ {\tau }_{xz}l+{\tau }_{yz}m+({\sigma }_z-\sigma )n=0\text{\hspace{1em}(1.23)} \end{gathered}$$

式（1.23）是关于$l、m、n$的齐次方程，由于$l^2+m^2+n^2=1$，因此，$l、m、n$不可能同时为零，即方程（1.23）应有非零解。非零解的条件是其系数矩阵行列式为零。 $$\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_x-\sigma & {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y-\sigma & {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z-\sigma \end{array}\right|=0$$

展开可得一个一元三次方程组，该方程数学上称为特征方程 $${\sigma }^3-I_1{\sigma }^2+I_2\sigma -I_3=0\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

式中$I_1、I_2、I_3$分别为 $$\begin{gathered} I_1={\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z={\sigma }_{kk} \\ {I}_2={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_x{\sigma }_z+{\sigma }_y{\sigma }_z-({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2+{\tau }_{zx}^2) \\ =\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_z& {\tau }_{zx}\\ {\tau }_{xz}& {\sigma }_x\end{array}\right| \\ {I}_3={\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z-({\sigma }_x{\tau }_{yz}^2+{\sigma }_y{\tau }_{zx}^2+{\sigma }_z{\tau }_{xy}^2)+2{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}{\tau }_{zx} \\ =\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yz}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1.25)} \end{gathered}$$ 使用张量表示为 $$\begin{gathered} I_1={\sigma }_{kk} \\ {I}_2=\frac{1}{2}(I_1^2-{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ij}) \\ {I}_3=\frac{1}{3}(3I_1{I}_2-I_1^3)+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{jk}{\sigma }_{ki}\text{\hspace{1em}(1.26)} \end{gathered}$$ 主应力有3个重要性质：

1）极值性

最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的最大（最小）者。

2）主方向互相垂直

3）$I_1、I_2、I_3$的坐标不变性

$I_1、I_2、I_3$的大小与坐标系的选取无关，因此是坐标不变量。

在以3个主轴为坐标轴的坐标系下，应力张量可表示为 $$[{\sigma }_{ij}]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_1& 0& 0\\ 0& {\sigma }_2& 0\\ 0& 0& {\sigma }_3\end{array}\right]$$ 三个不变量用主应力表示为 $$\begin{gathered} I_1={\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3 \\ {I}_2={\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1 \\ {I}_3={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3\text{\hspace{1em}(1.28)} \end{gathered}$$

最大剪应力

设3个主应力及主应力方向已知，求最大剪应力。以3个主方向为其坐标轴方向，其单位矢量是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vect at position 1: \̲v̲e̲c̲t̲{e_1}、\vect {e_…，如图所示。推导思路：斜面公式–>求极值–>拉格朗日乘子。

该斜面上的应力矢量是 $$\begin{gathered} \mathbf{T}(\mathbf{n})=\mathbf{T}({\mathbf{e}}_1)l+\mathbf{T}({\mathbf{e}}_2)m+\mathbf{T}({\mathbf{e}}_3)n \\ =l{\sigma }_1{\mathbf{e}}_1+m{\sigma }_2{\mathbf{e}}_2+n{\sigma }_3{\mathbf{e}}_3\text{\hspace{1em}(1.29)} \end{gathered}$$

该斜面上的正应力是 $${\sigma }_n=\mathbf{T}(\mathbf{n})\cdot \mathbf{n}=l^2{\sigma }_1+m^2{\sigma }_2+n^2{\sigma }_3\text{\hspace{1em}(1.30)}$$ 斜面上的剪应力为 $${\tau }_n^2=\Vert \mathbf{T}{\Vert }^2-{\sigma }_n^2\text{\hspace{1em}(1.32)}$$

结果：设${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$，则最大剪应力是 $${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2}\text{\hspace{1em}(1.33)}$$ 所在的平面与中应力${\sigma }_2$平行而与最大主应力${\sigma }_3$和最小主应力${\sigma }_3$的角度分别为$45^{\circ }$。

Mohr应力圆

根据式（1.30）和式（1.32），任一斜面上的正应力${\sigma }_n$和剪应力${\tau }_n$随斜面外法线方向余弦l、m、n而变化，将每一个斜面上的${\sigma }_n$和${\tau }_n$使用$\sigma -\tau$坐标系上的坐标点表示，所有这些坐标点所组成的图形称之为Mohr图。

设${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$，可推导出应力圆 $$\begin{gathered} {\tau }_n^2+({\sigma }_n-\frac{{\sigma }_2+{\sigma }_3}{2}{)}^2\ge (\frac{{\sigma }_2-{\sigma }_3}{2}{)}^2 \\ {\tau }_n^2+({\sigma }_n-\frac{{\sigma }_3+{\sigma }_1}{2}{)}^2\le (\frac{{\sigma }_3-{\sigma }_1}{2}{)}^2 \\ {\tau }_n^2+({\sigma }_n-\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}{)}^2\ge (\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}{)}^2 \end{gathered}$$ 由这三个不等式可知：任意一斜面的应力${\sigma }_n、{\tau }_n$在$\sigma -\tau$坐标系中，均落在${\sigma }_1、{\sigma }_2、{\sigma }_3$决定的3个圆上或者圆之间的阴影面积内。如下图所示，这三个圆称之为Mohr应力圆，简称为Mohr圆或应力圆。

偏应力张量及其不变量

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态之和。静水压力状态是指微六面体的每个面上只有正应力作用，而剪应力为零，正应力大小均为平均应力 $${\sigma }_0=\frac{1}{3}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3)\text{\hspace{1em}(1.40)}$$ 即 $$[{\sigma }_0{\delta }_{ij}]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_0& 0& 0\\ 0& {\sigma }_0& 0\\ 0& 0& {\sigma }_0\end{array}\right]$$ 式中${\delta }_{ij}$是Kronecker符号。${\sigma }_0{\delta }_{ij}$称为球形张量。

偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分，表示为 $$[s_{ij}]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x-{\sigma }_0& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y-{\sigma }_0& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z-{\sigma }_0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1.41)}$$ 偏应力$s_{ij}$也是一个对称的二阶张量。

上述的应力分解用张量表示为 $${\sigma }_{ij}=s_{ij}+{\sigma }_0{\delta }_{ij}$$

静水压力状态的特点

任意斜面上的剪应力为零；Mohr应力圆退化为$\sigma$轴上的一点；这是一种各个面上应力都相同的状态。

偏应力的主值和不变量

偏应力张量$s_{ij}$所代表的应力状态有什么的特点？将式（1.24）和试（1.25）中的${\sigma }_{ij}$用$s_{ij}$替代，则求得偏应力主值的特征方程为 $${\mathbf{s}}^3-J_1{\mathbf{s}}^2-J_2\mathbf{s}-J_3=0\text{\hspace{1em}(1.42)}$$ 式中 $$\begin{gathered} J_1={\sigma }_x-{\sigma }_0+{\sigma }_y-{\sigma }_0+{\sigma }_z-{\sigma }_0=s_{kk}=0 \\ {J}_2=-\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_x-{\sigma }_0& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yz}& {\sigma }_y-{\sigma }_0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_y-{\sigma }_0& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{xy}& {\sigma }_z-{\sigma }_0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{\sigma }_z-{\sigma }_0& {\tau }_{zx}\\ {\tau }_{xz}& {\sigma }_x-{\sigma }_0\end{array}\right| \\ =\frac{1}{6}[({\sigma }_x-{\sigma }_y{)}^2+({\sigma }_y-{\sigma }_z{)}^2+({\sigma }_z-{\sigma }_x{)}^2-6({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2-{\tau }_{zx}^2)]=\frac{1}{2}{s}_{ij}{s}_{ij} \\ {J}_3=\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_x-{\sigma }_0& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y-{\sigma }_0& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z-{\sigma }_0\end{array}\right|=\frac{1}{3}{s}_{ij}{s}_{jk}{s}_{ki}\text{\hspace{1em}(1.43)} \end{gathered}$$

解方程（1.42）可得偏应力的三个主值 $$\begin{gathered} s_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left({\theta }_{\sigma }+\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\right) \\ {s}_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin ({\theta }_{\sigma }) \\ {s}_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin \left({\theta }_{\sigma }-\frac{2\pi }{3}\right)\text{\hspace{1em}(1.44)} \end{gathered}$$ 式中${\theta }_{\sigma }$称为Lode角，为 $${\theta }_{\sigma }=\frac{1}{3}si{n}^{-1}\left[\frac{-\sqrt{27}{J}_3}{2(J_2{)}^{3/2}}\right]\text{\hspace{1em}(1.45)}$$ 由应力状态分解的关系（1.41）可以得出主应力可表示为 $$\begin{gathered} {\sigma }_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left({\theta }_{\sigma }+\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\right)+{\sigma }_0 \\ {\sigma }_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin ({\theta }_{\sigma })+{\sigma }_0 \\ {\sigma }_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin \left({\theta }_{\sigma }-\frac{2\pi }{3}\right)+{\sigma }_0 \end{gathered}$$

表示为 $$\begin{gathered} {\sigma }_1=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin \left({\theta }_{\sigma }+\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\right)+{\sigma }_0 \\ {\sigma }_2=\frac{2\sqrt{J_2}}{\sqrt{3}}\sin ({\theta }_{\sigma })+{\sigma }_0 \\ {\sigma }_3=\frac{2\sqrt{J_2}}{3}\sin \left({\theta }_{\sigma }-\frac{2\pi }{3}\right)+{\sigma }_0 \end{gathered}$$

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陈明祥. 弹塑性力学[M]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎