有关秩的几个重要式子

    技术2025-01-15  22

    矩阵的秩: 设A是m×n矩阵,若存在k阶子式不为零,而任意k+1阶子式全为零(如果有的话),则r(A)=k,且A是n×n矩阵,则 r ( A n × n ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可 逆 r(A_{n×n}) = n \Leftrightarrow|A|≠0\Leftrightarrow A可逆 r(An×n)=nA=0A 向量组的秩: 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r} αi1,αi2,...,αir中所含向量的个数r称为向量组的秩,记作 r a n k ( α 1 , α 2 , . . . α s ) = r 或 r ( α 1 , α 2 , . . . α s ) = r rank(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s)=r或r(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s)=r rank(α1,α2,...αs)=rr(α1,α2,...αs)=r

    常见的一些公式及证明 设A是m×n矩阵,B是满足有关矩阵运算要求的矩阵,则 ① 0 ≤ r ( A ) ≤ m i n { m , n } 0≤r(A)≤min\{m,n\} 0r(A)min{m,n}(由矩阵的秩的定义可知) ② r ( k A ) = r ( A ) ( k ≠ 0 ) r(kA)=r(A)(k≠0) r(kA)=r(A)(k=0)(由矩阵的定义可以) ③ r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min\{r(A),r(B)\} r(AB)min{r(A),r(B)}   证明: A m × n B n × s = { a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n } × { β 1 β 2 ⋮ β n } = { a 11 β 1 + a 12 β 2 + . . . + a 1 n β n ⋮ a m 1 β 1 + a m 2 β 2 + . . . + a m n β n } A_{m×n}B_{n×s}= \left\{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right\} × \left\{\begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} a_{11}\beta_1+a_{12}\beta_2+...+a_{1n}\beta_n \\ \vdots \\a_{m1}\beta_1+a_{m2}\beta_2+...+a_{mn}\beta_n \end{matrix}\right\} Am×nBn×s=a11a21am1a12a22am2a1na2namn×β1β2βn=a11β1+a12β2+...+a1nβnam1β1+am2β2+...+amnβn 故AB中的行向量组可以由B中的行向量组线性表出,则r(AB)≤r(B),同理可证r(AB)≤r(A)

    利用这个式子可以证明正交矩阵必定满秩。 正交矩阵:设A是n阶方阵,A是正交矩阵 ⇔ A T A = E ⇔ A T = A − 1 ⇔ A \Leftrightarrow A^TA=E \Leftrightarrow A^T=A^{-1}\Leftrightarrow A ATA=EAT=A1A的行(列)向量组是标准正交向量组。

    r ( A + B ) ≤ r [ A , B ] ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A+B)≤r[A,B]≤r(A)+r(B) r(A+B)r[A,B]r(A)+r(B)   证明: 不妨设 A = [ α 1 , α 2 , . . . α s ] A=[\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s] A=[α1,α2,...αs] B = [ β 1 , β 2 , . . β s ] B = [\beta_1,\beta_2,..\beta_s] B=[β1,β2,..βs] A + B = [ α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , . . . , α s + β s ] A+B = [\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_s+\beta_s] A+B=[α1+β1,α2+β2,...,αs+βs] [ A , B ] = [ α 1 , α 2 , . . . α s , β 1 , β 2 , . . . , β s ] [A,B]=[\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_s,\beta_1,\beta_2,...,\beta_s] [A,B]=[α1,α2,...αs,β1,β2,...,βs] A+B中的元素均可由[A,B]中的元素线性表出,则 r ( A + B ) ≤ r [ A , B ] r(A+B)≤r[A,B] r(A+B)r[A,B] 设A的极大线性无关组为 α i 1 , . . . α i n \alpha_{i_1},...\alpha_{i_n} αi1,...αin,同理B的极大线性无关组为 β i 1 . . . β i m \beta_{i_1}...\beta_{i_m} βi1...βim,则[A,B]中的元素显然能用A和B的极大线性无关组的并集表示出来,故有 r [ A , B ] ≤ r ( A ) + r ( B ) r[A,B]≤r(A)+r(B) r[A,B]r(A)+r(B) ⑤设A是n阶方阵, A ∗ A^* A是A的伴随矩阵,证明: f ( x ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1 \\ 0,r(A)<n-1 \end{array} \right. f(x)=n,r(A)=n1,r(A)=n10,r(A)<n1 值得注意的是,这个过程是可逆的,即 r ( A ) = n ⇔ r ( A ∗ ) = n , r ( A ) = n − 1 ⇔ r ( A ∗ ) = 1 , r ( A ) < n − 1 ⇔ r ( A ∗ ) = 0 r(A)=n\Leftrightarrow r(A^*)=n,r(A)=n-1\Leftrightarrow r(A^*)=1,r(A)<n-1\Leftrightarrow r(A^*)=0 r(A)=nr(A)=n,r(A)=n1r(A)=1,r(A)<n1r(A)=0,在考研中考过这样的题目

      证明:

    r(A) = n时,则 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^* =|A|E AA=AE,因为|A|≠0,所以 ∣ A ∗ ∣ ≠ 0 |A^*|≠0 A=0,所以 A ∗ A^* A满秩, r ( A ∗ ) = n r(A^*)=n r(A)=n当r(A)<n-1,由矩阵的秩的定义可知,此时所有的代数余子式均为0,则 ∣ A ∗ ∣ |A^*| A为零矩阵,所以 r ( ∣ A ∗ ∣ ) = 0 r(|A^*|)=0 r(A)=0当r(A)=n-1时,此时存在n-1阶子式不等于0,则 A ∗ A^* A不为零矩阵,故 r ( A ∗ ) ≥ 1 r(A^*)≥1 r(A)1,又 A A ∗ = O AA^*=O AA=O,则 r ( A ) + r ( A ∗ ) < = n r(A)+r(A^*)<=n r(A)+r(A)<=n,则有 r ( A ∗ ) ≤ 1 r(A^*)≤1 r(A)1,故 r ( A ∗ ) = 1 r(A^*)=1 r(A)=1

    A B = O ⟹ r ( A ) + r ( B ) ≤ A 的 列 数 ( B 的 行 数 ) AB = O\Longrightarrow r(A)+r(B)≤A的列数(B的行数) AB=Or(A)+r(B)AB 证明:从基础解系的角度来理解,A是系数矩阵,B是Ax = O的解构成的向量组,因为基础解系中解的个数 = n - r(A)(即未知数的个数减去有效方程的个数),同时B中不一定囊括了所有基础解系中的解,故为≤ (30讲 p331 习题2.2.11)设 A A A是4×3矩阵, B B B是3×4的非零矩阵,且满足 A B = O AB=O AB=O,其中 A = { 1 2 t 3 t 18 2 4 2 t 1 8 − t 4 t − 18 } A=\left\{ \begin{matrix}1&2&t\\3&t&18\\2&4&2t\\1&8-t&4t-18\end{matrix}\right\} A=13212t48tt182t4t18则证明 t ≠ 6 , r ( B ) = 1 t\not=6,r(B)=1 t=6,r(B)=1 (1000题 p103 t6)设 A A A为4阶实对称矩阵,且 A 2 + A = O A^2+A=O A2+A=O.若 A A A的秩为3,则二次型 f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x T A x f(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAx f(x1,x2,...,xn)=xTAx在正交变换下的标准形为____ (1000题p99 t10)设 A A A是n阶矩阵,满足 A 2 = A A^2=A A2=A,且 r ( A ) = r ( 0 < r ≤ n ) r(A)=r(0<r\le n) r(A)=r(0<rn),证明: A ∼ [ E r O O O ] , A\sim\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}, A[ErOOO], 其中 E r E_r Er r r r阶单位阵。


    r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA) r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA) 证明:根据同解方程组的性质,只要说明 A x = O Ax = O Ax=O A T A x = O A^TAx=O ATAx=O是同解方程组,即可得到 r ( A ) = r ( A T A ) r(A) = r(A^TA) r(A)=r(ATA)

    显然满足 A x = O Ax = O Ax=O的解也满足 A T A x = O A^TAx=O ATAx=O接下来说明满足 A T A x = O A^TAx=O ATAx=O的解也满足 A x = O Ax = O Ax=O 假设 x 0 x_0 x0满足 A T A x 0 = O A^TAx_0=O ATAx0=O,则同时左乘 x 0 T x_0^T x0T得到 x 0 T A T A x 0 = O → ( A x 0 ) T A x 0 = O x_0^TA^TAx_0=O \rightarrow (Ax_0)^TAx_0=O x0TATAx0=O(Ax0)TAx0=O。 不妨设 A x 0 = [ a 1 , ⋯   , a n ] Ax_0=[a_1,\cdots ,a_n] Ax0=[a1,,an],则 ∑ i = 1 n a i 2 = 0 → a i = 0 \sum_{i=1}^na_i^2=0 \rightarrow a_i=0 i=1nai2=0ai=0,即 A x 0 = O Ax_0=O Ax0=O,即满足 A T A x = O A^TAx=O ATAx=O的解也满足 A x = O Ax = O Ax=O

    上述说明了 A x = O Ax = O Ax=O A T A x = O A^TAx=O ATAx=O是同解方程组,即可得到 r ( A ) = r ( A T A ) r(A) = r(A^TA) r(A)=r(ATA)

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