算法基础

算法(问题求解步骤的一种描述)

时间复杂度：算法计算执行的基本操作次数(与数据量相关)空间复杂度：算法需要消耗多少辅助空间(与数据量相关,不计数据本身占用的空间)算法在时间的高效性和空间的高效性之间通常是矛盾的,所以会有"时间换空间,空间换时间"一说

时间复杂度

执行时间固定的操作都是常数时间操作

算术运算 (+ - * / % 等)位运算( >> >>> << | & ^ 等)赋值 比较 数组寻址 HashMap查找指定元素 等

执行时间不固定的操作都是非常数时间操作

链表查询指定元素

执行效率(由高至低) 常数阶O(1) -> 对数阶O($lo{g}_{2}n$) -> 线性阶O(n) -> 线性对数阶O(n$lo{g}_{2}n$) -> 平方阶O($n^2$) -> 立方阶O($n^3$) -> k次方阶O($n^k$) -> 指数阶O($2^n$) -> 指数阶O($k^n$) -> 阶乘O(N!)k

ps: markdown显示 $2^{lo{g}_2{n}^7}$ 的方法

$2^{log_2{n^7}}$

计算时间复杂度 只保留最高阶项, 忽略常数项, 样本量很大情况下, 低阶项及每项的系数并不重要; 以最差情况来计算复杂度, 概率事件算期望.

选择排序(ASC): 第一轮: 第一个数与后面每个数比较, 较小值交换至第一个位置;(第一个数字为最小值) 第二轮: 第二个数与后面每个数比较, 较小值交换至第二个位置;(第二个数字为次小值) … 后续同理(每次循环在[m, n]区间内获取最小值, 放置m处)

常数操作次数 = (n-1) * (元素寻址(查询)+比较) + 交换 + (n-2) * (元素寻址+比较) + 交换 … 常数操作次数 = (n-1) * (2) + 1 + (n-2) * (2) + 1 … 1*2 + 1 常数操作次数 = $n^2$ + n T(n) = O($n^2$ )

不稳定排序 : (相等数据的顺序被打乱) [7, 7, 3] [3, 7, 7] 原顺序第一个7到了第二个7后面

冒泡排序(ASC): 第一轮: 第一个数与第二个数比较, 较小值交换至第一个位置; 第二个数与第三个数比较, 较小值交换至第二个位置…第n-1与第n个数比较, 较小值交换至第n-1位置;(第n个数字为最大值) 第二轮: 第一个数与第二个数比较, 较小值交换至第一个位置; 第二个数与第三个数比较, 较小值交换至第二个位置…第n-2与第n-1个数比较, 较小值交换至第n-2位置;(第n-1个数字为次最大值) … 后续同理(每次循环在[1, n-m]区间内获取最大值, 放置n-m处)

常数操作次数 = (n-1) * (元素寻址(查询)+比较) + 交换 + (n-2) * (元素寻址+比较) + 交换 … 常数操作次数 = (n-1) * (2) + 1 + (n-2) * (2) + 1 … 1*2 + 1 常数操作次数 = $n^2$ + n T(n) = O($n^2$ )

稳定排序 : (相等数据的顺序保持不变) [7, 7, 3] [7, 3, 7] 原顺序第一个7还是在第二个7前面 [3, 7, 7]

插入排序(ASC): 第一轮: 第一个数,与前一个数(null)相比有序不处理( 类似斗地主,每抽一张牌按顺序方式插入原先牌库 ) 第二轮: 第二个数与第一个数比较, 第二个数较小则交换至第一个位置,否则结束此轮, 第三轮: 第三个数与第二个数比较, 第三个数较小则交换至第二个位置,否则结束此轮; 若没结束,则第二个数与第一个数比较, 第二个数较小则交换至第一个位置,否则结束此轮; … 后续同理(每次循环加入一个数n-m, 与有序区间[1, n-m-1]进行排序合并后, 当前数据[1, n-m]中的最大值, 放置n-m处)

常数操作次数 = 0 * 元素寻址+比较) + 交换 + 1 * (元素寻址+比较) + 交换 … (n-1) * (元素寻址(查询)+比较) + 交换 常数操作次数 = 0 + 1 * 2+1 + 2 * 2+1 + … + (n-1) * (2) + 1 常数操作次数 = $n^2$ + n T(n) = O($n^2$ )

特殊情况: {1, 2, 3} 使用插入排序遍历 N-1 次即有序

稳定排序 : (相等数据的顺序保持不变) {7, 7, 3} {7, 3, 7} 原顺序第一个7还是在第二个7前面 {3, 7, 7}

空间复杂度

一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度(与数据量相关)算法执行所需临时空间不随着数据量(n)的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)算法执行所需临时空间随着数据量(n)的大小而变化: 以二分查找(递归)为例，递归深度是$lo{g}_{2}n$，每次递归的辅助空间为常数，所以空间复杂度为O($lo{g}_{2}n$)