机构运动学（一）——姿态、坐标

1 末端姿态表示

两种末端操作器的姿态表示方法

①欧拉(Euler)角表示法 如(a)所示，以Euler($\phi$,$\theta$,$\eta$)对末端姿态进行表示，绕坐标轴线的旋转顺序为Rot($z$,$\phi$)→$x^{\prime }{y}^{\prime }z$→Rot($y^{\prime }$,$\theta$)→$x^{\prime \prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$→Rot($z^{\prime }$,$\eta$)→$x^{\prime \prime \prime }{y}^{\prime \prime }{z}^{\prime }$，则末端操作器的坐标系xyz此时与x’’‘y’'z’完全重合。②Roll-Pitch-Yaw表示法 如(b)所示，以(${\theta }_r$,${\theta }_p$,${\theta }_y$)对末端操作器的姿态进行表示，绕坐标轴线的旋转顺序为Rot($z$,${\theta }_r$)→Rot($y$,${\theta }_p$)→Rot($x$,${\theta }_y$)

2 坐标系的表示和坐标变换

1. 物体和坐标系 物体坐标系内一点$P$标记为${}^{obj}P$，可用矢量形式表示为： $${}^{obj}P={[}^{obj}{P}_x{,}^{obj}{P}_y{,}^{obj}{P}_z{]}^T$$

2. 坐标变换

①回转变换 物体坐标系${\sum }_{obj}$与绝对坐标系${\sum }_{abs}$间的坐标轴回转变换关系为矩阵A，则物体上点P在绝对坐标系${\sum }_{abs}$中的矢量表示${}^{abs}P$为： $${}^{abs}P=\left[\begin{array}{c}{}^{abs}{P}_x\\ {}^{abs}{P}_y\\ {}^{abs}{P}_z\end{array}\right]=[A]{\cdot }^{obj}P{+}^{abs}{P}_0$$ 如绕参考坐标系$o-xyz$的$z$轴旋转了$\theta$角： $$f(x)=\{\begin{array}{rl}{x}_a& =x_{0}cos\theta -y_{0}sin\theta \\ y_a& =x_{0}sin\theta +y_{0}cos\theta \\ z_a& =z_0\end{array}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]\Rightarrow$$ $$R(z,\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 同理可得： $$R(y,\theta )=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]$$ $$R(x,\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0& sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$②平移变换 设两坐标系间的平移变换矢量为$T$，则： $$T(p_x,p_y,p_z)=\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]$$③齐次变换矩阵 齐次变换矩阵A，可表示为：