随机变量的数字特征

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随机变量的数字特征数学期望数学期望的定义随机变量的函数的数学期望数学期望的重要性质 方差 variance定义相关公式方差的重要性质切比雪夫(Chebyshev)不等式 协方差及相关系数协方差(Covariance)的定义协方差的相关式子协方差的两大性质相关系数的两个定理

数学期望

数学期望的定义

对于离散型: 设离散型随机变量X的分布律为$P\left\{X=x_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$

若级数${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$绝对收敛, 则称级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 的和为随机变量 $X$ 的数学期望,记为 $E(X)$

即 $$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$$ 对于连续型: 设连续型随机变量 X 的概率密度为 $f(x),$ 若积分 $${\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x$$ 绝对收敛，则称积分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x$ 的值为随机变量 $X$ 的数学期望,记为 $E(X)$

即 $$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm{d}x$$ 数学期望简称期望或均值

随机变量的函数的数学期望

定理: 设 Y 是随机变量 X 的函数 : $Y=g(X)(g$ 是连续函数)。

如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$, 若 ${\sum }_{k=1}^{\infty }g\left(x_k\right)p_k$ 绝对收敛 $,$ 则有 $$E(Y)=E[g(X)]=\sum _{k=1}^{\infty }g\left(x_k\right)p_k$$

如果 X 是连续型随机变量，它的概率密度为 $f(x),$ 若 ${\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\mathrm{d}x$绝对收敛, 则有 $$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\mathrm{d}x$$

应用: 求E(Y)时, 就不用再算出Y的分布律或概率密度了

数学期望的重要性质

设 C 是常数，则有 $E(C)=C$设 X 是一个随机变量，C 是常数，则有$E(CX)=CE(X)$设 X，Y 是两个随机变量，则有$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有$E(XY)=E(X)E(Y)$

g

方差 variance

定义

设 X 是一个随机变量，若 $E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}$ 存在,则称 $E\{[X-E(X){]}^2\}$ 为 $X$ 的方差 $,$ 记为 $D(X)$ 或 $\mathrm{Var}(X),$ 即 $$D(X)=\mathrm{Var}(X)=E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}$$ 方差实际上就是随机g方差

在应用上还引入量 $\sqrt{D(X)}$,记为 $\sigma (X)$

相关公式

**对于离散型随机变量: ** $$D(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{\left[x_k-E(X)\right]}^2{p}_k$$ (方差实际上就是随机变量 X 的函数 $g(X)=(X-E(X){)}^2$的数学期望)

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对于连续型随机变量: $$D(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)\mathrm{d}x$$ 其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度.

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随机变量 X 的方差可按下列公式计算: $$D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X){]}^2$$ 证明: $$\begin{array}{rl}D(X)& =E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}=E\left\{X^2-2XE(X)+[E(X){]}^2\right\}\\ & =E\left(X^2\right)-2E(X)E(X)+[E(X){]}^2\\ & =E\left(X^2\right)-[E(X){]}^2\end{array}$$

方差的重要性质

设 C 是常数，则 $D(C)=0$

设 X 是随机变量，C 是常数，则有:

$D(CX)=C^{2}D(X)$$D(X+C)=D(X)$

设 X，Y 是两个随机变量,则有 $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}$$

$D(X)=0$ 的充要条件是 $X$ 以概率 1 取常数 $E(X),$ 即 $$P\{X=E(X)\}=1$$

切比雪夫(Chebyshev)不等式

定理: 设随机变量 X 具有数学期望 $E(X)=\mu ,$ 方差 $D(X)={\sigma }^2,$ 则对于任意正数 $\epsilon$, 不等式 $$P\{|X-\mu |⩾\epsilon \}⩽\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$ 成立.

这一不等式称为切比雪夫(Chebyshev)不等式。

协方差及相关系数

协方差(Covariance)的定义

量 $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 称为随机变量 $X$ 与 $Y$ 的协方差. 记为 Cov( $X,Y$ ), 即 $$\mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$$

而 $${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$ 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数。

协方差的相关式子

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X),\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ (常用来计算协方差)

协方差的两大性质

$\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab\mathrm{Cov}(X,Y),a,b$ 是常数.$\mathrm{Cov}\left(X_1+X_2,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)+\mathrm{Cov}\left(X_2,Y\right)$

相关系数的两个定理

$\left|{\rho }_{XY}\right|⩽1$$\left|{\rho }_{XY}\right|=1$ 的充要条件晃，存在常数 $a,b$ 使$P\{Y=a+bX\}=1$

相关系数可以用来表示两个变量的线性相关程度, 当 ${\rho }_{XY}=0$ 时 $,$ 称 $X$ 和 $Y$ 不相关.