AI笔记: 数学基础之多元函数的概念和极限

多元函数

1 ） 概念

设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

更好的理解，可以通过二元函数、三元函数的定义 作如下表述

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点$P(x,y)\in D$变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应则称z是变量x,y的二元函数，记为$z=f(x,y)$ (或 记为 $z=f(P)$)类似地可定义三元及以上函数当$n\ge 2$时, n元函数统称为多元函数多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念

2 ） 例子

圆柱体的体积：$V=\pi r^{2}h,\{(r,h)|r>0,h>0\}$定量理想气体的压强：$p=\frac{RT}{V}\{(V,T),|V>0,T>T_0\}$ (R为常数)三角形面积的海伦公式 $p=\frac{a+b+c}{2}$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\{(a,b,c)|a>0,b>0,c>0,a+b>c\}$

二元函数$z=f(x,y)$的图形

设函数$z=f(x,y)$的定义域为D, 对于任意取定的$P(x,y)\in D$, 对应的函数值为 $z=f(x,y)$, 这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标, 在这个三维空间就确定一点M(x,y,z)取遍D上的一切点(x,y)时，的一个空间点集 $\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D\}$, 这个点集称为二元函数的图形如下图，二元函数的图形通常是一张曲面 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性

例子

(1) 二元函数$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$定义域为圆域 $\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\}$, 图形为中心在原点的上半球面 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性 (2) $z=sin(xy),(x,y)\in R^2$ 说明：二元函数 $z=f(x,y),(x,y)\in D$的图形一般为空间曲面$\Sigma$ 备注：图片托管于github，请确保网络的可访问性 (3) 三元函数 $u=arcsin(x^2+y^2+z^2)$ 定义域为单位闭球体 $\{(x,y,z),|x^2+y^2+z^2\le 1\}$, 图形为四维空间中的超曲面

多元函数的极限

一元函数的极限

若$\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$当点 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$时，$f(x)\in U(a,\epsilon )$, 即 $|f(x)-a|<\epsilon$则称 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$

多元函数的极限

设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为D, $P_0(x_0,y_0)$是其聚点.如果存在常数A, $\forall \epsilon >0$, 总存在正数$\delta$使得在$P_0$的空心$\delta$邻域内的一切点P(x,y)都成立 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon$则称常数A为函数f(x,y) 当$(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限，记为${\lim }_{x\to x_0,y\to y_0}f(x,y)=A$ 或 $f(x,y{)}_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\to A$, 也记作${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$ 或 $f(P)\to A(P\to P_0)$二元函数的极限也称为二重极限

例子

设$f(x,y)=(x^2+y^2)sin\frac{1}{x^2+y^2}(x^2+y^2\ne 0)$, 求证 ${\lim }_{x\to 0,y\to 0}f(x,y)=0$分析： 因为 $|(x^2+y^2)sin\frac{1}{x^2+y^2}-0|\le x^2+y^2<\epsilon$所以 $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta =\sqrt{\epsilon }$, 当 $0<\rho =\sqrt{x^2+y^2}<\delta$时，总有 $|f(x,y)-0|\le x^2+y^2<{\delta }^2=\epsilon$故：${\lim }_{x\to 0,y\to 0}f(x,y)=0$