CQF笔记M1L3泰勒级数和转移概率密度函数

CQF笔记M1L3泰勒级数和转移密度函数

Module 1 Building Blocks of Quant FinanceLecture 2 Taylor Series and Transition Density Functions泰勒级数期权价格的泰勒级数trinomial random walk和转移密度函数Similarity solutions 求解过程

Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 2 Taylor Series and Transition Density Functions

泰勒级数

泰勒展开使用逐次逼近的思想，用多项式函数对函数$f(x)$在$x_0$的进行近似拟合，将难以研究的函数转换为简单的多项式形式 $\begin{array}{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n\end{array}$

其中$a_n$是常数，推导过程如下：

$\begin{array}{rl}& f(x_0)=a_0\\ & f^{\prime }(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+\cdots \\ & f^{\prime }(x_0)=a_1\\ & f^{\prime \prime }(x)=2a_2+6a_3(x-x_0)+\cdots \\ & f^{\prime \prime }(x_0)=2a_2\\ & f^{\prime \prime \prime }(x)=6a_3+\cdots \\ & f^{\prime \prime \prime }(x_0)=6a_3\\ & ⋮\\ & f^{(n)}(x_0)=n!a_n\end{array}$ 得到 $\begin{array}{r}{a}_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\end{array}$ 代入泰勒展开式得到 $\begin{array}{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\end{array}$

将$x-x_0$记为$h$，则$x=x_0+h$，得到 $\begin{array}{r}f(x_0+h)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{h}^n\end{array}$ 再将$x_0$改为$x$，得到泰勒级数的最终形式： $\begin{array}{r}f(x+h)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x)}{n!}{h}^n\end{array}$

注意：

这是一个近似表达式等式右边只使用函数在$x$处的信息

常用的泰勒级数 $\begin{array}{r}{e}^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\end{array}$ $\begin{array}{r}ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}\end{array}$

期权价格的泰勒级数

偏微分

对期权价格函数$V(S,t)$，定义

$\begin{array}{r}\frac{\partial V}{\partial S}=\underset{\delta S\to 0}{\lim }\frac{V(S+\delta S,t)-V(S,t)}{\delta S}\end{array}$

$\begin{array}{r}\frac{\partial V}{\partial t}=\underset{\delta t\to 0}{\lim }\frac{V(S,t+\delta t)-V(S,t)}{\delta t}\end{array}$

高阶偏微分是低阶偏微分的偏微分 $\begin{array}{r}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}=\frac{\partial \frac{\partial V}{\partial S}}{\partial S}\end{array}$

二维泰勒展开

$\begin{array}{rl}& V(S+\delta S,t+\delta t)\\ =& V(S,t)+\delta t\frac{\partial V}{\partial t}+\delta S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{(\delta S)}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+\frac{1}{2}{(\delta t)}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial t^2}+\delta t\delta S\frac{{\partial }^{2}V}{\partial t\partial S}+\cdots \\ \approx & V(S,t)+\delta t\frac{\partial V}{\partial t}+\delta S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}{(\delta S)}^2\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}+\cdots \end{array}$

备注：由于资产价格被建模为维纳过程，展开式中${(\delta S)}^2\sim \delta t$, 不能忽略，但是$\delta t$的二次及以上的高阶项, $\delta t\delta S$及高阶项, $\delta S$三次及以上的高阶项被忽略。后面前向和反向方程中的$y$也有相同的处理。

符号

$\begin{array}{r}\Delta =\frac{\partial V}{\partial S}\\ \theta =\frac{\partial V}{\partial t}\\ \Gamma =\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}\end{array}$

trinomial random walk和转移密度函数

trinomial random walk 多期trinomial树的模拟结果 最终价格分布非常接近正态分布

转移概率密度函数transition probability density function $p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })$定义为 $\begin{array}{r}Prob(a<y^{\prime }<battime{t}^{\prime }|yattimet)={\int }_a^{b}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })d{y}^{\prime }\end{array}$

$t$表示当前时刻 $y$表示当前价格 $t^{\prime }$表示未来时刻 $y^{\prime }$表示未来价格

转移概率密度函数表示，以前当前$t$的价格为$y$，在未来$t^{\prime }$时刻，价格$y^{\prime }$位于给定区间$[a,b]$的概率

forward equation 已知：当前时刻$t$的状态$y$, 求解：在未来时刻$t^{\prime }$到达状态$y^{\prime }$的概率

$\begin{array}{r}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })=\alpha A+(1-2\alpha )B+\alpha C\end{array}$

其中 $\begin{array}{rl}& A=p(y,t;y^{\prime }+\delta y,t^{\prime }-\delta t)\\ & B=p(y,t;y^{\prime },t^{\prime }-\delta t)\\ & C=p(y,t;y^{\prime }-\delta y,t^{\prime }-\delta t)\\ & A\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })-\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+\delta y\frac{\partial p}{\partial y^{\prime }}+\frac{1}{2}\delta y^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}+\cdots \\ & C\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })-\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}-\delta y\frac{\partial p}{\partial y^{\prime }}+\frac{1}{2}\delta y^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}+\cdots \\ & B\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })-\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+\cdots \end{array}$

代入化简得到 $\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}=\frac{\alpha \delta y^2}{\delta t}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}\end{array}$

当$\delta t$趋近于0时, $\delta y$也趋近于0。 当 $\begin{array}{r}\frac{\alpha \delta y^2}{\delta t}\end{array}$的极限趋近于有限值时，上述方程才有意义

$\begin{array}{r}\frac{\delta y^2}{\delta t}\end{array}$ 的三个场景：

分子比分母更快的变为0：随机过程collapse为0分子比分母更慢的变为0：随机过程变为无穷分子和分母的阶数相同，即$\begin{array}{r}\frac{\delta y^2}{\delta t}\sim O(1),\delta y\sim O(\sqrt{\delta t})\end{array}$,

备注：这里似乎是个循环论证，因为能推导到这一步，已经假设过${\delta y}^2\sim \delta t$

定义 $\begin{array}{r}\frac{\alpha \delta y^2}{\delta t}=c^2\end{array}$

$c$用于表达波动性: $c^2=\frac{1}{2}{\sigma }^2$

最终的方程变为 $\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}=c^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}\end{array}$

这个方程称为Fokker–Planck或者forward Kolmogorov方程，是一个线性抛物线偏微分方程forward parabolic partial differential equation（方程的解的线性组合仍然是方程的解），用于计算未来时刻$t^{\prime }$的$y$的概率分布

backward equation 已知：假定未来时刻$t^{\prime }$的状态为$y^{\prime }$， 求解：当前时刻$t$的状态为$y$的概率

反向方程与隐马尔可夫链存在关联

$\begin{array}{r}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })=\alpha A+(1-2\alpha )B+\alpha C\end{array}$

其中 $\begin{array}{rl}& A=p(y+\delta y,t+\delta t;y^{\prime },t^{\prime })\\ & B=p(y,t+\delta t;y^{\prime },t^{\prime })\\ & C=p(y-\delta y,t+\delta t;y^{\prime },t^{\prime })\\ & A\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })+\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+\delta y\frac{\partial p}{\partial y^{\prime }}+\frac{1}{2}\delta y^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}+\cdots \\ & C\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })+\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}-\delta y\frac{\partial p}{\partial y^{\prime }}+\frac{1}{2}\delta y^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}+\cdots \\ & B\approx p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })+\delta t\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+\cdots \end{array}$

代入化简得到 $\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+\frac{\alpha \delta y^2}{\delta t}\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}=0\end{array}$

定义 $\begin{array}{r}\frac{\alpha \delta y^2}{\delta t}=c^2\end{array}$

最终的方程变为 $\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}+c^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}=0\end{array}$

与前向方程仅仅只有符号上的差别 BS方程是反向方程

注意：

这里的y可以为负值，但是金融资产的价格，例如股价，不可能是负值三叉树模型只允许$y$往三个特定值变化，是极其简单的特例不同的金融量，需要不同的模型：股价、利率

Similarity solutions 求解过程

也叫Similarity Reduction Method，通过引入新的变量并换元减少维度

大部分微分方程没有显式解（无法用初等函数表示，可以类比为大部分问题无法用编程语言的标准库解决），通常用数值解法求解，能求解的是一些形式比较特殊的微分方程。

考虑前向方程 $\begin{array}{r}\frac{\partial p}{\partial t^{\prime }}=c^2\frac{{\partial }^{2}p}{\partial y^{\prime 2}}\end{array}$

微分方程的初始条件和边界条件

初始条件 initial conditions：how solution starts off边界条件 boundary conditions：函数在给定y’时的行为

(1) 考察一个如下形式的解：$\begin{array}{r}p=t^{\prime a}f(\frac{y^{\prime }}{t^{\prime b}})\end{array}$, 目标是解出常数项$a,b$和函数$f(x)$的解析式

令 $\xi =y^{\prime }{t}^{-b}$ 用链式法则和乘法法则求导 $\begin{array}{rl}\frac{\partial p}{\partial y^{\prime }}=& {t^{\prime }}^a\frac{df}{d\xi }\frac{d\xi }{d{y}^{\prime }}={t^{\prime }}^{a-b}\frac{df}{d\xi }\\ \frac{{\partial }^{2}p}{\partial {y^{\prime }}^2}=& {t^{\prime }}^{a-2b}\frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}\\ \frac{dp}{d{t}^{\prime }}=& a{t^{\prime }}^{a-1}f(\xi )+{t^{\prime }}^a\frac{df}{d\xi }\frac{\partial \xi }{\partial t^{\prime }}\\ =& a{t^{\prime }}^{a-1}f(\xi )-b{y}^{\prime }{t^{\prime }}^{a-b-1}\frac{df}{d\xi }\end{array}$

(2)带入原方程，得到 $\begin{array}{r}a{t^{\prime }}^{a-1}f(\xi )-b{y}^{\prime }{t^{\prime }}^{a-b-1}\frac{df}{d\xi }=c^2{t^{\prime }}^{a-2b}\frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}\end{array}$

消去y’和部分t’得到 $\begin{array}{r}af(\xi )-b\xi \frac{df}{d\xi }=c^2{t^{\prime }}^{-2b+1}\frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}\end{array}$

左边与$t^{\prime }$无关，说明右边应该也没有$t^{\prime }$项，所以$b=\frac{1}{2}$，

(3) 带入b得到 $\begin{array}{r}af(\xi )-\frac{1}{2}\xi \frac{df}{d\xi }=c^2\frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}\end{array}$

备注：这里没有给出推导过程

解微分方程得到原方程的一个解形式为: $\begin{array}{r}p={t^{\prime }}^{a}f(\frac{y^{\prime }}{\sqrt{t^{\prime }}})\end{array}$ 因为可以选择不同的常数$a$，这是一个解集

(4)考虑（问题的出发点：转移概率密度函数） $\begin{array}{r}{\int }_{-\infty }^{\infty }p(y^{\prime },t^{\prime })d{y}^{\prime }=1={\int }_{-\infty }^{\infty }{t^{\prime }}^{a}f(\frac{y^{\prime }}{\sqrt{t^{\prime }}})d{y}^{\prime }\end{array}$

令 $y^{\prime }={t^{\prime }}^{\frac{1}{2}}u$ 带入得到 $\begin{array}{r}{t^{\prime }}^{a+\frac{1}{2}}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u)du=1\end{array}$ 同样因为右边与$t^{\prime }$无关，所以$a=-\frac{1}{2}$

同时有：$\begin{array}{r}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u)du=1\end{array}$

(5)带入$a$得到： $\begin{array}{r}-\frac{1}{2}f(\xi )-\frac{1}{2}\xi \frac{df}{d\xi }=c^2\frac{d^{2}f}{d{\xi }^2}\end{array}$

再次求解微分方程 $\begin{array}{r}-\frac{1}{2}\frac{d(\xi f)}{d\xi }=c^2{f}^{\prime \prime }\to -\frac{1}{2}\xi f=c^2{f}^{\prime }+Const\end{array}$ 当$\xi$趋向于$\infty$时, $f(\xi )$和$f^{\prime }(\xi )$都趋向于0, 因此$Const$应该为0

$\begin{array}{r}{c}^2\frac{d(lnf)}{d\xi }=-\frac{1}{2}\xi \to f(\xi )=A{e}^{-\frac{{\xi }^2}{4c^2}}\end{array}$

(6)由于 $\begin{array}{r}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u)du=1\end{array}$

最终得到$p$的解析式为 $\begin{array}{r}p=\frac{1}{2c\sqrt{\pi t^{\prime }}}exp(-\frac{{y^{\prime }}^2}{4c^2{t}^{\prime }})\end{array}$

表示$y^{\prime }$服从正态分布$y^{\prime }\sim N(0,2c^2{t}^{\prime })$

(7)最终解 $\begin{array}{r}p(y,t;y^{\prime },t^{\prime })=\frac{1}{2c\sqrt{\pi (t^{\prime }-t)}}exp(-\frac{{(y^{\prime }-y)}^2}{4c^2(t^{\prime }-t)})\end{array}$

也就是，如果在t时刻看t’时刻, 转移PDF的均值为$y$, 方差为$4c^2(t^{\prime }-t)$

这就是trinomial random walk前向方程的转移概率密度函数

预测时间越长，方差越大（表示预测准确的概率越低）