极大线性无关组： 在向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs中，若存在部分组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r} αi1,αi2,...,αir满足： ① α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r} αi1,αi2,...,αir线性无关； ②向量组中任一向量 α i ( i = 1 , 2 , . . . s ) \alpha_i(i=1,2,...s) αi(i=1,2,...s)均可由 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r} αi1,αi2,...,αir线性表出。 则称向量组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r} αi1,αi2,...,αir是原向量组的极大线性无关组。
【注意】 1.向量组的极大线性无关组一般不唯一 2.只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组 3.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量本身
【张宇考研数学基础30讲 2021版】p345 eg.2.3.8 设向量组 α 1 = [ 1 , − 1 , 2 , 4 ] T , α 2 = [ 0 , 3 , 1 , 2 ] T , α 3 = [ 3 , 0 , 7 , 14 ] T , α 4 = [ 1 , − 2 , 2 , 0 ] T , α 5 = [ 2 , 1 , 5 , 10 ] T \alpha_1=[1,-1,2,4]^T,\alpha_2=[0,3,1,2]^T,\alpha_3=[3,0,7,14]^T,\alpha_4=[1,-2,2,0]^T,\alpha_5=[2,1,5,10]^T α1=[1,−1,2,4]T,α2=[0,3,1,2]T,α3=[3,0,7,14]T,α4=[1,−2,2,0]T,α5=[2,1,5,10]T 则该向量组的极大线性无关组是（） ( A ) α 1 , α 2 , α 3 ( B ) α 1 , α 2 , α 4 (A)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \qquad (B)\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4 (A)α1,α2,α3(B)α1,α2,α4 正确的做法： 将向量组合并成矩阵，并做初等行变换，化为阶梯型矩阵，最后化为 A = [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ] ⇒ { 1 0 3 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 } = [ β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ] = B A = [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5] \Rightarrow \left\{\begin{matrix}1 & 0 & 3 & 1 &2\\ 0 & 1 &1& 0 &1 \\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0 \end{matrix}\right\} = [\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4,\beta_5] = B A=[α1,α2,α3,α4,α5]⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧10000100310010−102100⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=[β1,β2,β3,β4,β5]=B B中的一组极大线性无关组为 β 1 , β 2 , β 4 \beta_1,\beta_2,\beta_4 β1,β2,β4，与对应的极大线性无关组为 α 1 , α 2 , α 4 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_4 α1,α2,α4
错误的方法： 将原来各个向量转置之后拼成了新的矩阵； A = [ α 1 T , α 2 T , α 3 T , α 4 T , α 5 T ] T = { 1 − 1 2 4 0 3 1 2 3 0 7 14 1 − 2 2 0 2 1 5 10 } ⇒ [ α 1 T , α 2 T , α 3 T − 3 α 1 T , α 4 T − α 1 T , α 5 T − 2 α 1 T ] T = { 1 − 1 2 4 0 3 1 2 0 3 1 2 0 − 1 0 − 4 0 3 1 2 } A = [\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T,\alpha_4^T,\alpha_5^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\3 & 0& 7 & 14 \\ 1 & -2 & 2 & 0 \\2 & 1 & 5 & 10 \end{matrix}\right\} \Rightarrow [\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T-3\alpha_1^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T,\alpha_5^T-2\alpha_1^T]^T = \left\{\begin{matrix}1 & -1& 2 & 4 \\ 0 & 3 &1& 2 \\0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & -4 \\0 & 3 & 1 & 2 \end{matrix}\right\} A=[α1T,α2T,α3T,α4T,α5T]T=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧10312−130−21217254214010⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫⇒[α1T,α2T,α3T−3α1T,α4T−α1T,α5T−2α1T]T=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧10000−133−1321101422−42⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫ 此时我们容易看出第一个、第二个、第四个行向量是线性无关的，但是注意了此时与原来的向量的对应关系已经发生了改变，这里变成了 α 1 T , α 2 T , α 4 T − α 1 T \alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_4^T-\alpha_1^T α1T,α2T,α4T−α1T线性无关，虽然在本例中不影响最终的结论，但是在其他情形中是无法保证的。所以列向量合并之后做的是初等行变化，不能是初等列变化。 即合并列向量做初等行变化，合并行向量做初等列变化。
那么为什么列向量组经过初等行变化，化成新的列向量组后，对应关系没有发生改变呢？ 解释：列向量组经过初等行变化，化成新的列向量组，即 [ α 1 , α 2 , ⋯ , α s ] ⟶ [ β 1 , β 2 , ⋯ , β s ] [\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s] \longrightarrow [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s] [α1,α2,⋯,αs]⟶[β1,β2,⋯,βs] 因 [ α 1 , α 2 , ⋯ , α s ] x = 0 [\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]x =0 [α1,α2,⋯,αs]x=0和 [ β 1 , β 2 , ⋯ , β s ] x = 0 [\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s]x=0 [β1,β2,⋯,βs]x=0是同解方程组（读者朋友可以考虑一下为什么是同解方程组），故 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1,α2,⋯,αs和 β 1 , β 2 , ⋯ , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s β1,β2,⋯,βs有相同的线性相关性。同样，任何对应的部分向量组 [ α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r ] ⟶ [ β i 1 , β i 2 , ⋯ , β i r ] [\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}] \longrightarrow [\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}] [αi1,αi2,⋯,αir]⟶[βi1,βi2,⋯,βir] 因 [ α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r ] x = 0 [\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}]x = 0 [αi1,αi2,⋯,αir]x=0和 [ β i 1 , β i 2 , ⋯ , β i r ] x = 0 [\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}]x=0 [βi1,βi2,⋯,βir]x=0同解，故 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} αi1,αi2,⋯,αir和 β i 1 , β i 2 , ⋯ , β i r \beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r} βi1,βi2,⋯,βir有相同的线性相关性
