二分查找

##二分查找解题框架 注意：

尽量不用else，用else if把每种情况说清楚；left+（right-left）/2,防止（left+right）/2太大而导致溢出。其中…标记的地方，就是可能出现的细节问题。 int binarySearch(int[] nums, int target) { int left = 0, right = ...; while(...) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] == target) { ... } else if (nums[mid] < target) { left = ... } else if (nums[mid] > target) { right = ... } } return ...; }

寻找一个数（基本的二分搜索）

int binarySearch(int []nums,int target) { if(nums.length<=0) return -1; //搜索区间 [start,end] int start=0; int end=nums.length-1;//注意 //中止条件 start=end+1 [end+1,end]确实不存在 //如果是start<end 中止条件start=end 那么[end,end]就结束需要加上补丁 while(start<=end){ int mid=start+(end-start)/2; if(nums[mid]==target) return mid; else if(nums[mid]<target) start=mid+1;//注意 else if(nums[mid]>target) end=mid-1;//注意 } return -1; }

为什么while中的循环条件是<=而不是< ? 答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。 这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。 我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。 什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target) return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//... while(left < right) { // ... } return nums[left] == target ? left : -1;

为什么left=mid+1,right=mid-1? 刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

此算法的缺陷 比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

左右侧边界统一写法

int binary_search(int[] nums, int target) { int left = 0, right = nums.length - 1; while(left <= right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if(nums[mid] == target) { // 直接返回 return mid; } } // 直接返回 return -1; } int left_bound(int[] nums, int target) { int left = 0, right = nums.length - 1; while (left <= right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if (nums[mid] == target) { // 别返回，锁定左侧边界 right = mid - 1; } } // 最后要检查 left 越界的情况 if (left >= nums.length || nums[left] != target) return -1; return left; } int right_bound(int[] nums, int target) { int left = 0, right = nums.length - 1; while (left <= right) { int mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } else if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if (nums[mid] == target) { // 别返回，锁定右侧边界 left = mid + 1; } } // 最后要检查 right 越界的情况 if (right < 0 || nums[right] != target) return -1; return right; }

1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。 2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。 3、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可。

例题

1.搜索旋转排序数组

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。 ( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。 搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。 你可以假设数组中不存在重复的元素。 你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。 示例 1: 输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0 输出: 4 示例 2: 输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3 输出: -1

思路和算法

题目要求算法时间复杂度必须是 O(\log n)O(logn) 的级别，这提示我们可以使用二分搜索的方法。

但是数组本身不是有序的，进行旋转后只保证了数组的局部是有序的，这还能进行二分搜索吗？答案是可以的。

可以发现的是，我们将数组从中间分开成左右两部分的时候，一定有一部分的数组是有序的。拿示例来看，我们从 6 这个位置分开以后数组变成了 [4, 5, 6] 和 [7, 0, 1, 2] 两个部分，其中左边 [4, 5, 6] 这个部分的数组是有序的，其他也是如此。

这启示我们可以在常规二分搜索的时候查看当前 mid 为分割位置分割出来的两个部分 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们该如何改变二分搜索的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出 target 在不在这个部分：

如果 [l, mid - 1] 是有序数组，且 target 的大小满足 [\textit{nums}[l],\textit{nums}[mid])[nums[l],nums[mid])，则我们应该将搜索范围缩小至 [l, mid - 1]，否则在 [mid + 1, r] 中寻找。 如果 [mid, r] 是有序数组，且 target 的大小满足 (\textit{nums}[mid+1],\textit{nums}[r]](nums[mid+1],nums[r]]，则我们应该将搜索范围缩小至 [mid + 1, r]，否则在 [l, mid - 1] 中寻找。

需要注意的是，二分的写法有很多种，所以在判断 target 大小与有序部分的关系的时候可能会出现细节上的差别。

class Solution { public: int search(vector<int>& nums, int target) { if(nums.size()<=0) return -1; int left=0; int right=nums.size()-1; while(left<=right) { int mid=left+(right-left)/2; if(nums[mid]==target)return mid; else if(nums[0]<=nums[mid])//判断如果0到mid为有序序列;注意必须<=nums[mid]如果<nums[mid]:那么当0=mid时另一个区间就包含了最大值nums[mid] { if(target<nums[mid]&&target>=nums[0])right=mid-1;//如果target在[0,mid)之间 else left=mid+1; }else{//如果mid到end为有序序列 if(target>nums[mid]&&target<=nums[nums.size()-1])left=mid+1;//如果target在(mid,end-1]之间 else right=mid-1; } } return -1; } }; class Solution { public: int search(vector<int>& nums, int target) { if(nums.size()<=0) return false; int left=0; int right=nums.size()-1; while(left<=right) { while(left!=right&&nums[left]==nums[right])right--;// int mid=left+(right-left)/2; if(nums[mid]==target)return true; else if(nums[0]<=nums[mid]) { if(target<nums[mid]&&target>=nums[left])right=mid-1; else left=mid+1; }else{ if(target>nums[mid]&&target<=nums[right])left=mid+1; else right=mid-1; } } return false; } };

2.分割数组的最大值

给定一个非负整数数组和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。 注意: 数组长度 n 满足以下条件: 1 ≤ n ≤ 1000 1 ≤ m ≤ min(50, n) 示例: 输入: nums = [7,2,5,10,8] m = 2 输出: 18 解释: 一共有四种方法将nums分割为2个子数组。 其中最好的方式是将其分为[7,2,5] 和 [10,8]， 因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。 思路：二分的左右界不仅仅可以是数组的下标，还可以是某一个需要查找值的范围。本题因为最小和的范围在数组中最大值到所有值的和中间，所以二分的上下界就是这个范围。用二分查找这个范围，开始累加数组，看数组中如果全部小于mid最多会有多少组子数组，如果超过m说明mid设置小了，如果不超过m说明可能设置大了或者找到了目标值，这时候就缩小搜索范围； class Solution { public: int splitArray(vector<int>& nums, int m) { if(nums.size()<=0||m<=0)return -1; long high=0; long low=0; for(auto num:nums){ high+=num; low=low>num?low:num; } while(low<=high)//， //如果有等号，就是low=high+1时退出循环. { long mid=(low+high)/2; int cnt=1; long temp=0; for(auto num:nums) { temp+=num; if(temp>mid) { temp=num; cnt++; } } if(cnt>m)low=mid+1; else high=mid-1; } return low; } }; while(low<high)//while条件如果没有等于号，就是low=high时退出循环,mid有可能就是答案，所以high=mid { ... high=mid; } while(low<=high)//while条件如果有等于号，就是low=high+1时退出循环,但是high=mid-1后，如果mid才是答案的话low=high的时候并不会终止，而是会发生cnt>m的情况，所以low还是会在加一 { ... low=mid+1; high=mid-1; }