3d数学基础 直线的表示方法转换：隐式转成“标准向量 + 距离”

在读几何图元的直线由隐式格式转成“标准向量+距离”的格式的时候有点困惑。已知直线方程是：ax + by = d。

书上是这么写的：

从直线的隐格式转换到“标准向量+距离”形式： \\ $\mathbf{n}=[ab]/\sqrt{a^2+b^2}$ \\ $distance=d/\sqrt{a^2+b^2}$

上式中，n被加粗了，它代表的是一个单位向量（模是1），并且垂直于已知直线。distance代表的是从原点到直线的距离。当时看的时候，n是单位向量好理解，但是第二个式子从原点到直线的距离公式是怎么推出来的？

其实，n所在的直线与给定的直线是垂直关系，那么原点到直线的距离所在的直线与n向量处于平行关系，如图：

因此，过0点和A点的直线方程的斜率可根据n向量的坐标得到：

$y=\frac{b}{a}x$

它与所给直线组成线性方程组，就交点坐标，再求距离： 求得：

$x=d\ast a/(a^2+b^2)$ \\ $y=d\ast b/(a^2+b^2)$ \\ $distance=\sqrt{x^2+y^2}=d/\sqrt{a^2+b^2}$

得证！