本节目录： 1 数据压缩 2 数据可视化 3 主成分分析 4 选择主成分的数量 5 重建的压缩表示 6 主成分分析法的应用建议 1 数据压缩 第二种监督学习问题为降维。有几个不同的原因使你可能想要做降维，一是数据压缩 ，它允许我们使用较少的计算机内存或磁盘空间，加快我们的学习算法。 对直升飞机做一个调查或做这些不同飞行员的测试——你可能有一个特征：𝑥1，这也许是他们的技 能（直升机飞行员），也许𝑥2可能是飞行员的爱好。这是表示他们是否喜欢飞行，也许这两 个特征将高度相关。你真正关心的可能是这条红线的方向，不同的特征，决定飞行员的能力。 将数据从三维降至二维： 这个例子中我们要将一个三维的特征向量降至一个二维的特 征向量。过程是与上面类似的，我们将三维向量投射到一个二维的平面上，强迫使得所有的 数据都在同一个平面上，降至二维的特征向量。 这样的处理过程可以被用于把任何维度的数据降到任何想要的维度，例如将 1000 维的 特征降至 100 维。 2 数据可视化 假使我们有有关于许多不同国家的数据，每一个特征向量都有 50 个特征（如 GDP，人 均 GDP，平均寿命等）。如果要将这个 50 维的数据可视化是不可能的。使用降维的方法将 其降至 2 维，我们便可以将其可视化了。 这样做的问题在于，降维的算法只负责减少维数，新产生的特征的意义就必须由我们自 己去发现了。 3 主成分分析 主成分分析(PCA)是最常见的降维算法。 在 PCA 中，我们要做的是找到一个方向向量（Vector direction），当我们把所有的数据 都投射到该向量上时，我们希望投射平均均方误差能尽可能地小。方向向量是一个经过原点 的向量，而投射误差是从特征向量向该方向向量作垂线的长度。 PCA 将𝑛个特征降维到𝑘个，可以用来进行数据压缩，如果 100 维的向量最后可以用 10 维来表示，那么压缩率为 90%。同样图像处理领域的 KL 变换使用 PCA 做图像压缩。但 PCA 要保证降维后，还要保证数据的特性损失最小。 PCA 技术的一大好处是对数据进行降维的处理。我们可以对新求出的“主元”向量的重要 性进行排序，根据需要取前面最重要的部分，将后面的维数省去，可以达到降维从而简化模 型或是对数据进行压缩的效果。同时最大程度的保持了原有数据的信息。 PCA技术的一大优点是 完全无参数限制，最后的结果只与数据有关。但这同时也是限制，如果用户对观测对象有一定先验知识，掌握了数据的一些特征，却无法通过参数化等方法对处理过程干预，可能会得不到预期效果。 主成分分析算法 对于一个 𝑛 × 𝑛维度的矩阵，上式中的𝑈是一个具有与数据之间最小投射误差的方向向 量构成的矩阵。如果我们希望将数据从𝑛维降至𝑘维，我们只需要从𝑈中选取前𝑘个向量，获 得一个𝑛 × 𝑘维度的矩阵，我们用𝑈𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒表示，然后通过如下计算获得要求的新特征向量𝑧(𝑖) : 𝑧(𝑖) = 𝑈𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒的转置∗ 𝑥(𝑖) 其中𝑥是𝑛 × 1维的，因此结果为𝑘 × 1维度。 4 选择主成分的数量 主要成分分析是减少投射的平均均方误差： 训练集的方差为： 我们希望在平均均方误差与训练集方差的比例尽可能小的情况下选择尽可能小的𝑘值。 如果我们希望这个比例小于 1%，就意味着原本数据的偏差有 99%都保留下来了，如果 我们选择保留 95%的偏差，便能非常显著地降低模型中特征的维度了。 我们可以先令𝑘 = 1，然后进行主要成分分析，获得𝑈𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒和𝑧，然后计算比例是否小于 1%。如果不是的话再令𝑘 = 2，如此类推，直到找到可以使得比例小于 1%的最小𝑘 值（原因 是各个特征之间通常情况存在某种相关性）。 还有更好的方式来选择K，通过奇异值分解得到【U,S,V】三个参数， 5 重建的压缩表示 在那里你可能需要把 1000 维的数据压缩100 维特征，或具有三维数据压缩到一二维表示。所以，如果这是一个压缩算法，应该能回到这个压缩表示，回到你原有的高维数据的一种近似。 所以，给定的𝑧(𝑖)，这可能 100 维，怎么回到你原来的表示𝑥(𝑖)，这可能是 1000 维的数 组？ 如图： 6 主成分分析法的应用建议 错误的主要成分分析情况：一个常见错误使用主要成分分析的情况是，将其用于减少过 拟合（减少了特征的数量）。这样做非常不好，不如尝试正则化处理。原因在于主要成分分 析只是近似地丢弃掉一些特征，它并不考虑任何与结果变量有关的信息，因此可能会丢失非 常重要的特征。然而当我们进行正则化处理时，会考虑到结果变量，不会丢掉重要的数据。 另一个常见的错误是，默认地将主要成分分析作为学习过程中的一部分，这虽然很多时 候有效果，最好还是从所有原始特征开始，只在有必要的时候（算法运行太慢或者占用太多 内存）才考虑采用主要成分分析。
