整理于2020年5月25日
原理分析
设p为n的一个素因子，且 p − 1 = ∏ i = 1 s q α i p-1=\prod_{i=1}^{s}q^{\alpha_{i}} p−1=∏i=1sqαi
⇒ ∃ B , ∀ q α i , B > q α i \Rightarrow \exist \,B,\forall q^{\alpha_{i}},B>q^{\alpha_{i}} ⇒∃B,∀qαi,B>qαi
令 a = 2 B ! m o d n a=2^{B!}mod \,n a=2B!modn
⇒ a ≡ 2 B ! m o d p \Rightarrow \, a\equiv 2^{B!}mod \, p ⇒a≡2B!modp
⇒ a ≡ 1 m o d p , 即 a − 1 = 0 m o d p \Rightarrow \, a\equiv 1\,mod \, p, 即a-1=0\,mod \, p ⇒a≡1modp,即a−1=0modp
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 15: \Rightarrow \,\̲m̲b̲o̲x̲{可通过求}(a-1,n)\m…
关键是希望p-1的分解中最大的素因子不是很大，
使得B也可以不是很大，就能得出最后n的素因子
具体算法
举个栗子
原理分析
若 x ≠ x ′ x\ne x' x=x′且 x ≡ x ′ m o d p x\equiv x' mod \,p x≡x′modp (在Zp中找碰撞，类似于生日悖论)
则可通过求 gcd(x-x’ , n)有一定概率求得n的素因子
我们通过 f ( x ) = x 2 + a f(x)=x^2+a f(x)=x2+a 产生一系列 x i x_i xi
x 1 ⊆ Z n , x i ≡ f ( x i − 1 ) m o d n x_1\subseteq Z_n,x_i\equiv f(x_{i-1})\,mod \, n x1⊆Zn,xi≡f(xi−1)modn
(若 x i ≡ x j m o d p ⇒ f ( x i ) ≡ f ( x j ) 即 x i + 1 ≡ x j + 1 m o d p ⇒ 产 生 了 一 个 周 期 序 列 ， 周 期 为 j − 1 x_i\equiv x_j\,mod\,p\Rightarrow\,f(x_i)\equiv f(x_j)即x_{i+1}\equiv x_{j+1}\,mod\,p\Rightarrow 产生了一个周期序列，周期为j-1 xi≡xjmodp⇒f(xi)≡f(xj)即xi+1≡xj+1modp⇒产生了一个周期序列，周期为j−1)
举个栗子
具体算法实现
因为一定 ∃ t ≥ i 且 t ≡ 0 m o d ( j − i ) \exist \, t\ge i \,且\, t\equiv\,0\,mod\,(j-i) ∃t≥i且t≡0mod(j−i) ，所 x t ≡ x 2 t m o d p x_t\equiv x_{2t}\,mod \,p xt≡x2tmodp
所以就有以下算法：
原理分析
若能找到 a 2 − b 2 ≡ 0 m o d n a^2-b^2\equiv 0\,mod \, n a2−b2≡0modn 则可以通过求 g c d ( a ± b , n ) gcd(a\pm b,n) gcd(a±b,n)有一定概率求得n的素因子
算法具体实现
算法举例
#但是存在一个难点，如何求得平滑数呢？
使用二次筛法
Shanks算法采用大段小段法（是一种时间-存储折中的算法）
原理分析
算法实现 将计算规模降到了 n 1 2 n^{\frac{1}{2}} n21
举个栗子
和Pollard ρ大整数分解算法类似，也是通过函数迭代构造碰撞，从而求得离散对数，因而也是一个概率算法
算法分析
算法描述
举个栗子
有待更新…
算法分析
通过计算因子基的离散对数（预计算），来计算所需元素的离散对数，是最高效的一种算法，下面是具体说明：
举个栗子
第一个问题（最大的问题）：密钥的交换 通信双方需要用同一个密钥进行加密和解密，因此就涉及到了密钥的交换，然而交换过程中需要的安全信道又很难保障。
第二个问题：密钥管理 N个用户之间相互通信，每人需要保存N-1个密钥，系统需要完成N×(N-1)/2次密钥的交换。 举个栗子：一个5000用户的网络，要保证每个用户能相互加密通信，总共需要完成12,497,500次密钥交换
第三个问题：抵赖 密钥协商和加密过程是双方行为，无法防止其中一方否认自己曾经发送过某条消息
单向陷门函数
如果存在一个单向函数，该函数在具有特定知识（称为陷门）后容易求逆。公钥密码体制就是在这样的单陷门函数下，私钥拥有者就是拥有这样的特定知识。这样的 单陷门函数一般是基于一些数学难题：大整数的分解、离散对数问题等等
一些用途
①用于加密
公钥加密、私钥解密，不需要交换密钥
②数字签名
私钥签名，公钥验证，可防抵赖
这里只做了简要介绍，具体数学原理不过多阐述。
算法分析
算法描述
举个栗子
算法分析
结合使用平方乘算法
由于解密过程已知p q，所以可以大大降低复杂度
由于RSA实现过程中需要用到p q两个素数，所以就需要素性检测算法
其实素性检测问题就是因式分解问题，不过目前不存在多项式时间内能完成的因式分解算法，所以目前使用的素性检测算法大多是概率算法。
基于上文的理论二
基于上文的理论三
基于上文的理论四
因为RSA其实就是大整数分解问题，这也提醒我们在要使得p q也都是大整数
这就很容易求出p q
RSA实现是给群组中每个人相同的n，但指数e和d不同的情况下，会出现的一些问题
为了获得更快的速度，而使用较小的加密指数会导致的一些问题
举个栗子
举个栗子
