什么是泰勒公式

百度百科是这样说的：如果函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，有下式成立： 泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。但实际上我们用的最多的，是泰勒公式在0点的展开，即代入x0=0，写成: 代入具体函数，可以得到我们最熟悉的形式：

非0处的展开

首先对于最简单的e^x：

#include<stdio.h> int main() { double sum = 0.0; double next = 1.0; double x;//选择令x为多少 scanf("%lf", &x); for (int i = 1; i < 100000; i++) { sum += next; next = next * x / i; } printf("%.15lf", sum); }

我们分别取三个值：0.1次方，1次方和10次方。 e^0.1次方 采用麦克劳林公式展开计算的程序结果： 还真就是一模一样。 同样的，计算e^x在x=1处的展开 原来，自然对数e除了下面这样的形式： 我们还可以得到另外一种形式：

然后是三角函数sinx

它的麦克劳林公式： 程序如下：

#include<stdio.h> int main() { double sum = 0.0; double x;//选择令x为多少 scanf("%lf", &x); double next = x; for (int i = 1; i < 100000; i++) { if (i % 2) sum += next; else sum -= next; next = next * x *x/ (4.0*i*i+2.0*i); } printf("%.15lf", sum); }

我输入pi/2 即3.14159…/2=1.5707963268… 程序结果返回1.0000… 与sin pi/2结果一致！ 那么我们再测试一下2*pi即6.28318…

最后是对数函数

程序：

#include<stdio.h> int main() { double sum = 0.0; double x;//选择令x为多少 scanf("%lf", &x); double next = x; for (int i = 1; i < 100000; i++) { sum += next; next = next * (-1) * x * i / (i + 1.0); } printf("%.15lf", sum); }

这里先试e^(1/2)-1，结果如下图所示，与实际符合 那么再试一下e-1 对于ln(1+x),只有在(-1，1]范围内麦克劳林公式成立。 具体可以参见无穷级数章节。

至于 可以回想一下高中所学的等比数列，自行归纳。