我是看stackexchange上的回答看懂的。下面是中文版的证明。 矩阵A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵，我们将满足 A x = 0 Ax=0 Ax=0的所有 x x x构成的集合称为A的null space,写做 N ( A ) N(A) N(A). 我们先证明 ① N ( A ) ⊆ N ( A T A ) N(A) \subseteq N(A^TA) N(A)⊆N(ATA) 对任何 x ∈ N ( A ) x \in N(A) x∈N(A)而言有： A x = 0 Ax=0 Ax=0 ⇒ A T A x = 0 \Rightarrow A^TAx=0 ⇒ATAx=0 ⇒ x ∈ N ( A T A ) \Rightarrow x\in N(A^TA) ⇒x∈N(ATA) 再证明 ② N ( A T A ) ⊆ N ( A ) N(A^TA) \subseteq N(A) N(ATA)⊆N(A) 对任何 x ∈ N ( A T A ) 有 ： x \in N(A^TA)有： x∈N(ATA)有： A T A x = 0 A^TAx=0 ATAx=0 ⇒ x T A T A X = 0 \Rightarrow x^TA^TAX=0 ⇒xTATAX=0 ⇒ ( A x ) T ( A x ) = 0 \Rightarrow (Ax)^T(Ax)=0 ⇒(Ax)T(Ax)=0 ⇒ A x = 0 \Rightarrow Ax=0 ⇒Ax=0 ⇒ x ∈ N ( A ) \Rightarrow x\in N(A) ⇒x∈N(A) 由①②可得 N ( A T A ) = N ( A ) N(A^TA)=N(A) N(ATA)=N(A) ⇒ d i m ( N ( A T A ) ) = d i m ( N ( A ) ) \Rightarrow dim(N(A^TA))=dim(N(A)) ⇒dim(N(ATA))=dim(N(A)) 由Rank-nullity theorem：对 A m × n 而 言 ， d i m ( N ( A ) ) + r a n k ( A ) = n A_{m\times n}而言，dim(N(A))+rank(A)=n Am×n而言，dim(N(A))+rank(A)=n,我们可以得到， r a n k ( A T A ) = r a n k ( A ) rank(A^TA)=rank(A) rank(ATA)=rank(A).
转载自Show that R a n k ( A + B ) < = R a n k ( A ) + R a n k ( B ) Rank(A+B)<=Rank(A)+Rank(B) Rank(A+B)<=Rank(A)+Rank(B).如下是中文版的证明： 让 A A A和 B B B的列以 a 1 , . . . , a n a_1,...,a_n a1,...,an， b 1 , . . , b n b_1,..,b_n b1,..,bn表示， A = < a 1 , . . . , a n > , B = < b 1 , . . . , b n > A=<a_1,...,a_n>,B=<b_1,...,b_n> A=<a1,...,an>,B=<b1,...,bn> A + B = < a 1 + b 1 , . . . , a n + b n > A+B=<a1+b1,...,a_n+b_n> A+B=<a1+b1,...,an+bn>，向量组 < a 1 + b 1 , . . . , a n + b n > <a1+b1,...,a_n+b_n> <a1+b1,...,an+bn>可以由 < a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n > <a_1,...,a_n,b_1,...,b_n> <a1,...,an,b1,...,bn>线性表出，所以 R a n k ( A + B ) = R a n k ( < a 1 + b 1 , . . . , a n + b n > ) < = R a n k ( < a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n > ) = R a n k ( A ) + R a n k ( B ) Rank(A+B)=Rank(<a1+b1,...,a_n+b_n>)<=Rank(<a_1,...,a_n,b_1,...,b_n>)=Rank(A)+Rank(B) Rank(A+B)=Rank(<a1+b1,...,an+bn>)<=Rank(<a1,...,an,b1,...,bn>)=Rank(A)+Rank(B)。
