UA MATH564 概率论 计算至少有一个发生的概率：容斥原理与庞加莱公式

事件的并的Poincare公式事件的交的Poincare公式

上一讲介绍了$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)$的上界（Gunias不等式）和下界（钟开莱-艾尔迪希不等式），这一讲介绍准确计算$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)$的方法——Poincare公式。

先考虑一个简单情况，当$n=2$时，$A_1\cup A_2$可以很容易写成不相交的三个子事件的并： $$A_1\cup A_2=(A_1-A_2)\cup (A_1\cap A_2)\cup (A_2-A_1)$$

根据概率的有限可加性， $$\begin{gathered} P(A_1\cup A_2)=P(A_1-A_2)+P(A_1\cap A_2)+P(A_2-A_1) \\ =P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) \end{gathered}$$

这个表达式类似两个集合的容斥原理。与容斥原理类似，我们可以尝试把这个结果推广到$n$个事件，获得准确计算$P({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i)$的方法。

事件的并的Poincare公式

引入一个记号： $$S_m=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_m})$$

下面给出Poincare公式的形式： $$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}{S}_m$$

证明 其实早在Boole不等式的证明中，我们就已经窥得Poincare公式的端倪。在Boole不等式的证明中，我们构造了一个集列$\{B_i{\}}_{i=1}^n$，其中$B_1=A_1,B_2=A_2-A_1,\cdots ,B_n=A_n-{\bigcup }_{i=1}^{n-1}{A}_n$，显然$B_i\cap B_j=\varphi ,\forall i\ne j$，并且 $$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$$

现在我们利用这个结构做计算 $$\begin{gathered} P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=P(\bigcup _{i=1}^n{B}_i)=P(\bigcup _{i=1}^{n-1}{B}_i)+P(B_n) \\ =P(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i)+P(A_n-\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_n)=P(\bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i)+P(A_n)-P(A_n\cap \bigcup _{i=1}^{n-1}{A}_i) \end{gathered}$$

根据这个递推关系， $$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{j=1}^{n-1}P(A_{j+1}\cap \bigcup _{i=1}^j{A}_i)$$

下面考虑$P(A_{j+1}\cap {\bigcup }_{i=1}^j{A}_i)$，同样依据上面那个递推关系： $$P(A_{j+1}\cap \bigcup _{i=1}^j{A}_i)=P(\bigcup _{i=1}^j{A}_i\cap A_{j+1})=P(A_j\cap A_{j+1})-P(A_j\cap A_{j+1}\cap \bigcup _{k=1}^{j-1}{A}_k)$$

因此 $$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)-\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i\cap A_j)+\sum _{j=1}^{n-1}P(A_j\cap A_{j+1}\cap \bigcup _{k=1}^{j-1}{A}_k)$$

接下来就是对$P(A_j\cap A_{j+1}\cap {\bigcup }_{k=1}^{j-1}{A}_k)$用那个递推公式，把所有三三相交的概率分离出来，一直做下去做到$nn$相交的概率即可！

证毕

事件的交的Poincare公式

基于事件的并的Poincare公式与de Morgan律，我们可以推出事件的交的Poincare公式。 $$\begin{gathered} P(\bigcap _{i=1}^n{A}_i)=1-P(\bigcup _{i=1}^n{\bar{A}}_i)=1-\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}P({\bar{A}}_{i_1}\cap {\bar{A}}_{i_2}\cap \cdots \cap {\bar{A}}_{i_m}) \\ =1-\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}[1-P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_m})] \\ =1-\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}{C}_n^m+\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_m}) \\ =\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_m}) \end{gathered}$$

定义记号 $${\tilde{S}}_m=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_m\le n}P(A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup \cdots \cup A_{i_m})$$

事件的交的Poincare公式可以写成 $$P(\bigcap _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m+1}{\tilde{S}}_m$$