每日算法系列【LeetCode 689】三个无重叠子数组的最大和

题目描述

给定数组 由正整数组成，找到三个互不重叠的子数组的最大和。 每个子数组的长度为 ，我们要使这 个项的和最大化。 返回每个区间起始索引的列表（索引从 0 开始）。如果有多个结果，返回字典序最小的一个。

示例1

输入： [1,2,1,2,6,7,5,1], 2 输出： [0, 3, 5] 解释： 子数组 [1, 2], [2, 6], [7, 5] 对应的起始索引为 [0, 3, 5]。 我们也可以取 [2, 1], 但是结果 [1, 3, 5] 在字典序上更大。

提示

的范围在[1, 20000]之间。 的范围在[1, 65535]之间。 的范围在 [1, floor(nums.legth / 3)]之间。

题解

首先看数据范围，这题不能使用暴力，暴力时间复杂度是 ，一定会超时，所以考虑使用动态规划求解。

下面考虑一般情况，也就是求解划分成 个不重叠数组的最大和。

假设到第 个元素为止，一共已经产生了 个不重叠数组，那么令 表示这个不重叠数组的最大和。

然后就要寻找状态转移方程。对于第 个元素，分为两种情况，可取可不取。

如果取，那就说明 是第 个子数组的最后一个元素，那么转移方程为：

也就是说，从 到 ，这 个元素构成了第 个子数组，那我们只需要求到第 个元素为止，产生 个不重叠数组的最大和即可。

如果不取，那问题就变成了求到第 个元素为止，产生 个不重叠数组的最大和，那么转移方程为：

当然这题还需要你还原出最大和的情况下，所有子数组的起始元素下标，所以需要另外用一个数组保存一下每一步的最优下标。

同样，假设到第 个元素为止，一共已经产生了 个不重叠数组，用 表示第 个子数组的末尾元素下标。

那么按照上面的推断，如果取第 个元素，那么 ；否则的话 。

最后就是根据 数组还原答案了。

首先最后一个子数组的末尾元素下标一定是 ，那么它的起始元素下标就是 ，然后前一个子数组末尾元素下标就是 ，依次下去，直到第一个子数组被求解完毕。

代码

class Solution { public: vector<int> maxSumOfThreeSubarrays(vector<int>& nums, int k) { int len = nums.size(), N = 3; int sum[len], s = 0; for (int i = 0; i < k; ++i) { s += nums[i]; sum[i] = 0; } sum[k-1] = s; for (int i = k; i < len; ++i) { s += nums[i] - nums[i - k]; sum[i] = s; } int dp[len][N+1], path[len][N+1]; memset(dp, 0, sizeof dp); dp[k-1][1] = sum[k-1]; path[k-1][1] = k - 1; for (int i = k; i < len; ++i) { for (int j = 1; j <= N; ++j) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; path[i][j] = path[i-1][j]; if (dp[i][j] < dp[i-k][j-1] + sum[i]) { dp[i][j] = dp[i-k][j-1] + sum[i]; path[i][j] = i; } } } vector<int> res; int idx = path[len-1][N]; res.push_back(idx - k + 1); for (int i = N - 1; i > 0; --i) { idx = path[idx-k][i]; res.push_back(idx - k + 1); } reverse(res.begin(), res.end()); return res; } };

后记

可以看到，时间和空间还有提升的余地。想到的可能优化方法是类似于0-1背包那样，去掉动态规划数组的第二个维度，来优化空间复杂度。

但是这是有些问题的，暂时并没有想到不增加时间复杂度下减少空间开销的方法，欢迎大家提出自己的想法。